ลอการิทึมของจำนวนลบคืออะไร?

ลอการิทึมของจำนวนลบไม่ได้กำหนดในจำนวนจริงเช่นเดียวกับที่รากที่สองของจำนวนลบไม่ได้กำหนดในจำนวนจริง หากคุณคาดว่าจะพบบันทึกของจำนวนลบคำตอบของ "undefined" นั้นเพียงพอในกรณีส่วนใหญ่

มัน คือ เป็นไปได้ในการประเมินหนึ่งอย่างไรก็ตามคำตอบจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน (จำนวนของแบบฟอร์ม #a + bi #ที่ไหน #i = sqrt (-1) #)

หากคุณคุ้นเคยกับตัวเลขที่ซับซ้อนและรู้สึกสะดวกสบายในการทำงานกับพวกเขาให้อ่านต่อ

ก่อนอื่นมาเริ่มด้วยตัวพิมพ์ใหญ่:

#log_b (-x) =? #

เราจะใช้กฎการเปลี่ยนแปลงของฐานและแปลงเป็นลอการิทึมธรรมชาติเพื่อให้ง่ายขึ้นในภายหลัง:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

สังเกตได้ว่า #ln (-x) # เป็นสิ่งเดียวกัน #ln (-1 * x) #. เราสามารถใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติการเพิ่มของลอการิทึมและแยกส่วนนี้ออกเป็นสองบันทึกแยก:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

ตอนนี้ปัญหาเดียวคือการหาว่าอะไร #ln (-1) # คือ. อาจดูเหมือนว่าเป็นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ที่จะประเมินในตอนแรก แต่มีสมการที่โด่งดังที่รู้จักกันในชื่อ Identity ของออยเลอร์

อัตลักษณ์ของออยเลอร์:

# e ^ (ipi) = -1 #

ผลลัพธ์นี้มาจากการขยายชุดพลังของไซน์และโคไซน์ (ฉันจะไม่อธิบายในเชิงลึกเกินไป แต่ถ้าคุณสนใจมีหน้าดีที่นี่ซึ่งอธิบายอีกเล็กน้อย)

สำหรับตอนนี้ให้เราดูบันทึกธรรมชาติของ Euler's Identity ทั้งสองด้าน:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

ย่อ:

#ipi = ln (-1) #

ดังนั้นตอนนี้ที่เรารู้ว่าอะไร #ln (-1) # คือเราสามารถเปลี่ยนกลับมาเป็นสมการของเรา:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

ตอนนี้คุณมีสูตรสำหรับค้นหาบันทึกของจำนวนลบ ดังนั้นถ้าเราต้องการประเมินสิ่งที่ชอบ # log_2 10 #เราสามารถเสียบค่าเพียงไม่กี่:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #