คุณจะกำหนดสมการของวงกลมที่ผ่านจุด D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15) อย่างไร?

ตอบ:

แทนแต่ละจุดของสมการของวงกลมพัฒนา 3 สมการและแทนที่ส่วนที่มีพิกัดร่วมกันอย่างน้อย 1 ตัว (# x # หรือ # Y #).

คำตอบคือ:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

คำอธิบาย:

สมการของวงกลม:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

ที่ไหน #α# #β# คือพิกัดของศูนย์กลางของวงกลม

ทดแทนสำหรับแต่ละจุดที่กำหนด:

จุด D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (สมการ 1)

จุด E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (สมการ 2)

จุด F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (สมการ 3)

สมการ substract #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

สมการ substract #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

ตอนนี้ที่ #α# และ #β# เป็นที่รู้จักแทนที่พวกเขาในจุดใด ๆ (เราจะใช้จุด #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

ดังนั้นสมการของวงกลมจึงกลายเป็น:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

ตอบ:

สมการของวงกลมคือ # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นเราต้องหาสมการสองเส้นแต่ละอันตั้งฉากกับเซกเมนต์ที่เกิดขึ้นโดยคู่ของจุดที่กำหนดและผ่านจุดกึ่งกลางของจุดคู่นี้

ตั้งแต่จุด D และ E (# x_D = x_E = -5 #) อยู่ในแนวขนานกับแกน -Y (# x = 0 #) และคะแนน E และ F (# y_E = y_F = 15 #) อยู่ในแนวขนานกับแกน -X (# การ y = 0 #) สะดวกในการเลือกคู่คะแนนเหล่านี้

สมการของ Line DE โดยที่ # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

สมการของเส้น 1 ตั้งฉากกับ DE และผ่านจุดกึ่งกลาง #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

บรรทัด 1# -> y = 5 #

สมการของ Line EF โดยที่ # y_E = y_F = 15 #

# การ y = 15 #

สมการของเส้น 2 ตั้งฉากกับ EF และผ่านจุดกึ่งกลาง #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

บรรทัด 2# -> x = 5 #

การรวมสมการของเส้น 1 และ 2 (# การ y = 5 # และ # x = 5 #) เราพบศูนย์กลางของวงกลมจุด C

รุ่น C ประเภทสิทธิ (5,5) #

ระยะห่างระหว่างจุด C ถึงจุดใดจุดหนึ่งนั้นเท่ากับรัศมีของวงกลม

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

ในสูตรของสมการของวงกลม:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #