รากเหตุผลที่เป็นไปได้ x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0 คืออะไร

ตอบ:

quintic นี้ไม่มีรากที่มีเหตุผล

คำอธิบาย:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

ตามทฤษฎีรากเหตุผล, ศูนย์ใด ๆ ของ # f (x) # มีความชัดเจนในแบบฟอร์ม # P / q # สำหรับจำนวนเต็ม #p, q # กับ # P # ตัวหารของเทอมคงที่ #-12# และ # Q # ตัวหารของสัมประสิทธิ์ #1# ของคำชั้นนำ

นั่นหมายความว่าเป็นไปได้เท่านั้น มีเหตุผล ศูนย์คือ:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

สังเกตได้ว่า #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # มีสัมประสิทธิ์เชิงลบทั้งหมด ด้วยเหตุนี้ # f (x) # ไม่มีเลขศูนย์

ดังนั้นที่เป็นไปได้เท่านั้น มีเหตุผล ศูนย์คือ:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

การประเมินการ # f (x) # สำหรับแต่ละค่าเหล่านี้เราพบว่าไม่มีค่าใด ๆ ดังนั้น # f (x) # ไม่มี มีเหตุผล ศูนย์

เช่นเดียวกับข้อเขียนและพหุนามส่วนใหญ่ที่มีระดับสูงกว่าค่าศูนย์จะไม่แสดงในรูปของ # n #รูตหรือฟังก์ชันพื้นฐานรวมถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คุณสามารถใช้วิธีการเชิงตัวเลขเช่น Durand-Kerner เพื่อค้นหาการประมาณค่าได้:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #