อะไรคือจุดอานของ f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x -3y + 4?

ตอบ:

โปรดดูคำอธิบายด้านล่าง

คำอธิบาย:

ฟังก์ชั่นคือ

# f (x, y) = x ^ 2 + XY + Y ^ 2 + 3x-3y + 4 #

อนุพันธ์บางส่วนคือ

# (DELF) / (delx) = 2x + Y + 3 #

# (DELF) / (Dely) = 2y + x-3 #

ปล่อย # (DELF) / (delx) = 0 # และ # (DELF) / (Dely) = 0 #

จากนั้น

# {(2x + Y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #

#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #

# (เดล ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (เดล ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #

# (เดล ^ 2f) / (delxdely) = 1 #

# (เดล ^ 2f) / (delydelx) = 1 #

เมทริกซ์ของรัฐคือ

#Hf (x, y) = (((เดล ^ 2f) / (delx ^ 2), (เดล ^ 2f) / (delxdely)), ((เดล ^ 2f) / (delydelx), (เดล ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #

ดีเทอร์มิแนนต์คือ

#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #

#=4-1=3 >0#

ดังนั้น, ไม่มีจุดอาน

#D (1,1)> 0 # และ # (เดล ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #มีขั้นต่ำในท้องถิ่นที่ #(-3,3)#

ตอบ:

ท้องถิ่นขั้นต่ำ: #(-3,3)#

คำอธิบาย:

กลุ่มของจุดที่มีทั้งจุด extrema และจุดอานพบได้เมื่อทั้งสอง # (DELF) / (delx) (x, y) # และ # (DELF) / (Dely) (x, y) # เท่ากับศูนย์

ทะลึ่ง # x # และ # Y # เป็นตัวแปรอิสระ:

# (DELF) / (delx) (x, y) = 2x + Y + 3 #

# (DELF) / (Dely) (x, y) = x + 2y-3 #

ดังนั้นเรามีสมการสองอันพร้อมกันซึ่งเกิดขึ้นเป็นเส้นตรง:

# 2x + Y + 3 = 0 #

# x + 2y-3 = 0 #

ตั้งแต่แรก:

# การ y = -2x-3 #

ทดแทนเป็นวินาที:

# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #

# x-4X-6-3 = 0 #

# -3x-9 = 0 #

# x = -3 #

ทดแทนกลับเข้ามาในแรก:

# 2 (-3) + Y + 3 = 0 #

# -6 + Y + 3 = 0 #

# -3 + Y = 0 #

# การ y = 3 #

ดังนั้นมีประเด็นหนึ่งที่อนุพันธ์อันดับแรกกลายเป็นศูนย์อย่างสม่ำเสมอไม่ว่าจะเป็น extremum หรืออาน # (x, y) = (- 3,3) #.

เพื่ออนุมานว่าเราต้องคำนวณเมทริกซ์ของอนุพันธ์อันดับสองคือ Hessian matrix (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):

# (((เดล ^ 2f) / (delx ^ 2), (เดล ^ 2f) / (delxdely)), ((เดล ^ 2f) / (delydelx), (เดล ^ 2f) / (Dely ^ 2))) #

# (เดล ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #

# (เดล ^ 2f) / (delxdely) = 1 #

# (เดล ^ 2f) / (delydelx) = 1 #

# (เดล ^ 2f) / (Dely ^ 2) = 2 #

ดังนั้น

# (((เดล ^ 2f) / (delx ^ 2), (เดล ^ 2f) / (delxdely)), ((เดล ^ 2f) / (delydelx), (เดล ^ 2f) / (Dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #

อนุพันธ์ลำดับที่สองทั้งหมดนั้นมีค่าคงที่เท่ากันทุกประการ # x # และ # Y #ดังนั้นเราจึงไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าเฉพาะสำหรับจุดสนใจ

NB ลำดับของความแตกต่างไม่สำคัญสำหรับฟังก์ชั่นที่มีอนุพันธ์อันดับสองอย่างต่อเนื่อง (ทฤษฎีบทของ Clairault, การสมัครที่นี่: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives) ดังนั้นเราคาดหวังว่า # (เดล ^ 2f) / (delxdely) = (เดล ^ 2f) / (delydelx) #ตามที่เราเห็นในผลลัพธ์เฉพาะด้านบน

ในกรณีสองตัวแปรนี้เราสามารถสรุปประเภทของจุดจากดีเทอร์มีแนนต์ของ Hessian # (เดล ^ 2f) / (delx ^ 2) (เดล ^ 2f) / (Dely ^ 2) - (เดล ^ 2f) / (delxdely) (เดล ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.

รูปแบบของการทดสอบเพื่อจัดการได้รับที่นี่:

เราเห็นว่าดีเทอร์มีแนนต์คือ #>0#และเป็นเช่นนั้น # (เดล ^ 2f) / (delx ^ 2) #. ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า #(-3,3)#จุดเดียวที่เป็นศูนย์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือขั้นต่ำของฟังก์ชัน

ในฐานะที่เป็นสติตรวจสอบคำถามฟังก์ชั่นหนึ่งมิติฉันมักจะโพสต์กราฟของมัน แต่ Socratic ไม่ได้มีสิ่งอำนวยความสะดวกการวางแผนพื้นผิวหรือรูปร่างที่เหมาะสมสำหรับฟังก์ชั่นสองมิติเท่าที่ฉันเห็น ดังนั้นฉันจะเขียนทับฟังก์ชันทั้งสองมากเกินไป # f (-3, y) # และ # f (x, 3) #ซึ่งไม่ได้มีลักษณะโดเมนฟังก์ชันทั้งหมดสำหรับเรา แต่จะแสดงขั้นต่ำระหว่างพวกเขาซึ่งจะปรากฏขึ้นตามที่คาดไว้ # การ y = 3 # และ # x = -3 #รับค่าฟังก์ชั่นที่เหมือนกัน # f = -5 # ในแต่ละกรณี.

เช่น # f (x, y) = x ^ 2 + XY + Y ^ 2 + 3x-3y + 4 #

# f (-3, y) y = ^ 2-6y +4 #

# f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #

กราฟ {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}