อะไรคือ asymptotes และความไม่ต่อเนื่องที่ถอดออกได้ของ f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

ตอบ:

# f (x) # มีเส้นกำกับแนวนอน # การ y = 0 # และเส้นกำกับแนวดิ่ง # x = 0 #

คำอธิบาย:

ได้รับ:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• โดเมนของตัวเศษ #sqrt (x) # คือ # 0, oo) #

• โดเมนของตัวส่วน # e ^ x - 1 # คือ # (- oo, oo) #

• ตัวส่วนเป็นศูนย์เมื่อ # e ^ x = 1 #ซึ่งสำหรับคุณค่าที่แท้จริงของ # x # จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ # x = 0 #

ดังนั้นโดเมนของ # f (x) # คือ # (0, oo) #

ใช้ชุดการขยายตัวของ # อี ^ x #, เรามี:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (white) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (white) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (white) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

ดังนั้น:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + … +)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (white) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

และ:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

ดังนั้น # f (x) # มีเส้นกำกับแนวดิ่ง # x = 0 # และเส้นกำกับแนวนอน # การ y = 0 #

กราฟ {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}