หาก a ^ 3 + b ^ 3 = 8 และ a ^ 2 + b ^ 2 = 4 ค่าของ (a + b) คืออะไร?

ตอบ:

มีค่าสองค่าที่เป็นไปได้สำหรับผลรวม # A + B = 2 # (สำหรับ A = # 2 # และ # B = 0 #) หรือ # A + B = -4 # (สำหรับ # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

คำอธิบาย:

มีสองสิ่งที่ไม่รู้จักจริงๆคือผลรวมและผลิตภัณฑ์ของ # A # และ # ข # ดังนั้นให้ #x = a + b # และ #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

สองสมการในสองนิรนาม

# 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

มันเรียกว่าลูกบาศก์ลูกบาศก์ที่หดหู่และมันมีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดง่าย ๆ เช่นสูตรสมการกำลังสอง แต่แทนที่จะลองทำอย่างนั้นเราจะลองเดาทฤษฏีตามวิธีการที่ได้รับเกียรติจากการลองจำนวนน้อย ๆ ที่เราเห็น # x = 2 # ทำงานได้ # (x-2) # เป็นปัจจัย

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

ตอนนี้เราสามารถปัจจัยต่อไป

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

ดังนั้นจึงมีค่าสองค่าที่เป็นไปได้สำหรับผลรวม # A + B = 2 # และ # A + B = -4. #

คำตอบแรกสอดคล้องกับทางออกที่แท้จริง # a = 2, b = 0 # และโดยความสมมาตร # a = 0, b = 2 #. คำตอบที่สองสอดคล้องกับผลรวมของคู่ของคอนจูเกตที่ซับซ้อน พวกเขากำลัง # a, b = -2 pm ฉัน sqrt {2} #. คุณตรวจสอบโซลูชันนี้ได้ไหม

ตอบ:

# (a + b) = 2 หรือ a + b = -4 #

คำอธิบาย:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + B) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2AB = (A + B) ^ # 2-4

# => AB = ((A + B) ^ 2-4) / 2 #

ตอนนี้

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + B) (ก ^ 2-AB + B ^ 2) = 8 #

# => (A + B) (4-AB) = 8 #

# => (A + B) {4 - ((A + B) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (A + B) {6 - ((A + B) ^ 2) / 2} = 8 #

ปล่อย,

# (A + B) = x #

ดังนั้น, # => x (6-x ^ 02/02) = 8 #

# => x (12 x ^ 2) = 16 #

# => x ^ 3-12x + 16 = 0 #

สังเกตว่า #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (x-2) # เป็นปัจจัย

ตอนนี้ # x ^ 3-12x + 16 = UL (x ^ 3-2x ^ 2) + ยู (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = x ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (x-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (x-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2 หรือ, x = -4 #.

#:. a + b = 2 หรือ a + b = -4 #.

กราฟได้รับที่นี่

คุณค่าของ #color (แดง) ((a + b) = 2 หรือ, -4. #

หวังว่ามันจะช่วย …

ขอบคุณ…