ใช้ a) และ b) เพื่อพิสูจน์ hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

จากสิ่งที่คุณกำลังพูดอยู่ที่นั่นสิ่งที่ดูเหมือนว่าเราควรจะทำคือการแสดงให้เห็นว่า #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. ดูเหมือนว่าที่ใดก็ตามที่คุณได้รับคำถามนี้จากความสับสนเกี่ยวกับความหมายของ # hatT_L #.

เราจะลงเอยด้วยการพิสูจน์ว่าการใช้

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

จะช่วยให้

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

และ ไม่ #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. ถ้าเราต้องการให้ทุกอย่างสอดคล้องกันแล้วถ้า #hatT_L = e ^ (- LhatD) #มันจะต้องเป็นอย่างนั้น # hatD, hatx = bb (-1) #. ฉันได้แก้ไขคำถามและตอบคำถามนั้นแล้ว

จากส่วนที่ 1 เราได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับคำจำกัดความนี้ (นั่น #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

ตั้งแต่ #f (x_0 - L) # เป็นไอเกนสเตทของ # hatT_L #รูปแบบทันทีที่นึกได้คือตัวดำเนินการเอ็กซ์โปเนนเชียล # อี ^ (LhatD) #. เราพูดอย่างนั้น #hatD = + ihatp_x // ℏ #และเราจะแสดงให้เห็นว่าเป็นเรื่องจริง

จำได้ว่าในหลักฐานที่แสดงในตอนที่ 1 เราเขียนว่า:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

และนั่นคือที่ที่เราจะต้องใช้มัน สิ่งที่เราต้องทำคือ เทย์เลอร์ขยายตัว ผู้ประกอบการชี้แจงและแสดงให้เห็นว่าหลักฐานดังกล่าวยังคงมีอยู่

นี่คือรายละเอียดของแสงที่นี่ด้วย ฉันขยายมันให้ละเอียดยิ่งขึ้น …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

ให้ที่ # L # เป็นค่าคงที่เราสามารถแยกตัวประกอบออกจากตัวสับเปลี่ยน # hatx # สามารถเข้าไปได้โดยไม่ขึ้นกับดัชนี ดังนั้น:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

ตอนนี้เราเสนอว่า #hatD = ihatp_x // ℏ #และนั่นจะทำให้รู้สึกเพราะเรารู้ว่า:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = ยกเลิก (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

ดังนั้น # hatx, hatp_x = iℏ #. มันจะหมายความว่าตราบใดที่ #hatT_L = e ^ (LhatD) #ในที่สุดเราจะได้คำจำกัดความที่สอดคล้องกันทั้งสองส่วนของปัญหาและรับ:

#color (สีน้ำเงิน) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = color (blue) (1) #

จากนี้เราจะขยายตัวสับเปลี่ยน:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

ตอนนี้เรารู้แล้ว # hatx, hatp_x #แต่ไม่จำเป็นเสมอไป # hatx, hatp_x ^ n #. คุณสามารถโน้มน้าวตัวเองได้ว่า

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

และนั่น

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

ดังนั้น:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) ฉ) / (DX ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {ยกเลิก (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - ยกเลิก (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) ฉ) / (DX ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

เรารับรู้ว่า # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. ดังนั้น,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, ให้ #n> = 1 #.

จากนี้เราพบ:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

ถ้าคุณประเมิน #n = 0 # คำคุณควรเห็นว่ามันเป็นศูนย์ดังนั้นเราจึงละเว้น ดำเนินการต่อไปเรามี:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) (iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / L) hatp_x ^ (n-1) #

ที่นี่เราแค่พยายามทำให้หน้าตาแบบนี้เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังอีกครั้ง

# = iℏ (iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) # #

(เงื่อนไขกลุ่ม)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(ประเมินผลภายนอก)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (e ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(ถ้า # n # เริ่มต้นที่ศูนย์ # (n-1) #เทอมที่ # n #คำที่.)

เป็นผลให้เราได้รับ:

# => สี (สีน้ำเงิน) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = color (สีน้ำเงิน) (- LhatT_L) #

และเรากลับไปที่สับเปลี่ยนเดิมอีกครั้งเช่นว่า

# hatx, hatT_L = -LhatT_L สี (สีน้ำเงิน) (sqrt "") #

สุดท้ายเรามาแสดงให้เห็นว่า # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (ohat) (n LhatD) ^ n) / (n !)) #

เขียนสิ่งนี้ออกมาอย่างชัดเจนเราจะเห็นว่ามันใช้งานได้:

# = color (blue) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +.. - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +.. #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) หมวก - หมวก ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) หมวก - หมวก ((LhatD) ^ 1) / (1!) +.. #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), hatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), hatD +.. #

# = L ^ 0 / (0!) (hatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (hatD) ^ (1), hatD +.. #

# = สี (สีน้ำเงิน) (sum_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

และตั้งแต่ # hatD # เดินทางด้วยตัวเองเสมอ # hatD ^ n, hatD = 0 # และดังนั้นจึง,

# hatT_L, hatD = 0 # #COLOR (สีฟ้า) (sqrt "") #