ตอบ:
ส่วนที่เหลือของการหาร #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # โดย # (x-k) # คือ # f (k) #ดังนั้นแก้ #f (k) = 9 # ใช้ทฤษฎีรากเหตุผลและแฟเพื่อหา:
#k = 1/2, -2 # หรือ #-3#
คำอธิบาย:
หากคุณพยายามแบ่ง #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # โดย # x-K # คุณจบลงด้วยส่วนที่เหลือของ # f (k) #…
ดังนั้นหากเหลือก็คือ #9#เราพยายามแก้ปัญหาโดยทั่วไป #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
ลบออก #9# จากทั้งสองด้านเพื่อรับ:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
ตามทฤษฎีรากเหตุผลเหตุผลรากของลูกบาศก์นี้จะอยู่ในรูปแบบ # P / q # ในแง่ต่ำสุดที่ไหน #p, q ใน ZZ #, #q! = 0 #, # P # ตัวหารของเทอมคงที่ #-6# และ # Q # ตัวหารของสัมประสิทธิ์ #2# ของคำชั้นนำ
นั่นหมายความว่ารากเหตุผลที่เป็นไปได้คือ:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
ลองอันแรก:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
ดังนั้น #k = 1/2 # เป็นรากและ # (2k-1) # เป็นปัจจัย
หารด้วย # (2k-1) # การค้นหา:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) #
ดังนั้นทางออกที่เป็นไปได้คือ:
#k = 1/2 #, #k = -2 # และ #k = -3 #
