มีความพยายามอะไรบ้างเมื่อผู้คนพยายามพิสูจน์ Collatz Conjecture

ตอบ:

ความคิดเล็กน้อย …

คำอธิบาย:

นักคณิตศาสตร์ชาวโปแลนด์ผู้ยิ่งใหญ่ของ Paul Erd กล่าวถึงการคาดการณ์ของ Collatz ว่า "คณิตศาสตร์อาจไม่พร้อมสำหรับปัญหาดังกล่าว" เขาเสนอรางวัล $ 500 สำหรับการแก้ปัญหา

วันนี้ดูเหมือนว่าจะดื้อดึงเหมือนที่เขาพูดแบบนั้น

เป็นไปได้ที่จะแสดงปัญหา Collatz ด้วยวิธีต่าง ๆ หลายวิธี แต่ไม่มีวิธีการที่แท้จริงในการพยายามแก้ไข เมื่อฉันอยู่ที่มหาวิทยาลัยเกือบ 40 ปีที่แล้วความคิดเพียงอย่างเดียวที่ผู้คนดูเหมือนจะมีคือการมองมันโดยใช้เลขคณิต 2-adic

ฉันคิดว่าจะพยายามพูดถึงมันโดยใช้วิธีการวัดเชิงทฤษฎีบางอย่าง แต่เกี่ยวกับสิ่งที่ดีที่สุดที่สามารถทำได้อาจเป็นการแสดงให้เห็นว่าชุดของตัวเลขที่ไม่ได้ตี #1# เป็นของวัด #0#. มันจะไม่ยกเว้นการมีอยู่ของตัวอย่างเคาน์เตอร์

การคาดคะเน Collatz ได้รับการตรวจสอบโดยคอมพิวเตอร์เพื่อดูตัวเลขที่เกี่ยวกับ #10^20#แต่นั่นแสดงให้เห็นว่าเป็นไปได้เท่านั้น - ไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นจริงสำหรับตัวเลขทั้งหมด

เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมกระบวนการวนซ้ำเช่นนั้นในการคาดคะเนของโคลลาตซ์นั้นยากที่จะแก้ปัญหาโดยทั่วไปมันอาจช่วยให้เห็นว่าการรวมกันของการบวกและการคูณกับจำนวนธรรมชาติที่แท้จริงนั้นมีมากมายเพียงใด

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณกำหนดระบบทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ที่เป็นทางการที่มีจำนวน จำกัด ของสัญลักษณ์และการดำเนินการที่อนุญาตแล้วการคำนวณทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานก็เพียงพอที่จะประมวลผล จากนั้นมันจะเป็นไปได้ที่จะสร้างคำสั่งเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งตีความว่ามีประสิทธิภาพ "ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบที่เป็นทางการนี้" คำกล่าวนั้นเป็นจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ ดังนั้นระบบที่เป็นทางการจึงไม่สมบูรณ์

นี่เป็นสาระสำคัญของการพิสูจน์ทฤษฎีบทข้อที่สองที่ไม่สมบูรณ์ของGödel