พิสูจน์เวกเตอร์ว่าค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตั้งฉากกับฐาน?

ใน # DeltaABC #,# AB = AC # และ # D # เป็นจุดกึ่งกลางของ # BC #.

ดังนั้นการแสดงออกในเวกเตอร์ที่เรามี

#vec (AB) + vec (AC) = 2vec (AD) #, ตั้งแต่ โฆษณา # # คือครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิด # ABandAC #.

ดังนั้น

#vec (AD) = 2/1 (vec (AB) + vec (AC)) #

ตอนนี้ #vec (CB) = vec (AB) -vec (AC) #

ดังนั้น #vec (AD) * vec (CB) #

# = 2/1 (vec (AB) + vec (AC)) * (vec (AB) -vec (AC)) #

# = 1/2 (vec (AB) * vec (AB) - vec (AB) * vec (AC) + vec (AC) * vec (AB) + vec (AC) * vec (AC)) #

# = 2/1 (absvec (AB) ^ 2-absvec (AC) ^ 2) #

# = 2/1 (absvec (AB) ^ 2-absvec (AB) ^ 2) = 0 #, ตั้งแต่ # AB = AC #

ถ้า # theta # คือมุมระหว่าง #vec (AD) และ vec (CB) #

แล้วก็

#absvec (AD) absvec (CB) costheta = 0 #

ดังนั้น # theta = 90 ^ @ #