ตอบ:
เคล็ดลับที่ 1: สมมติว่าเขาสมการ # x ^ 2 + x-u = 0 # กับ #ยู# จำนวนเต็มมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็ม # n #. แสดงว่า #ยู# เป็นคู่
คำอธิบาย:
ถ้า # n # เป็นวิธีแก้ปัญหาที่มีจำนวนเต็ม # ม # ดังนั้น
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
ที่ไหน #nm = u # และ # m-n = 1 #
แต่สมการที่สองนำมาซึ่ง #m = n + 1 #
ตอนนี้ทั้งคู่ # ม # และ # n # เป็นจำนวนเต็มดังนั้นหนึ่งในนั้น # n #, # 1 + n # เป็นคู่และ #nm = u # เป็นคู่
เรื่อง
ถ้า #ยู# เป็นจำนวนเต็มคี่แล้วสมการ # x ^ 2 + x - u = 0 # ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นจำนวนเต็ม
พิสูจน์
สมมติว่ามีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มอยู่ # ม # ของสมการ:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
ที่ไหน #ยู# เป็นจำนวนเต็มคี่ เราต้องตรวจสอบสองกรณีที่เป็นไปได้:
# ม # แปลก หรือ
# ม # เป็นคู่
ก่อนอื่นให้เราพิจารณากรณีที่ # ม # แปลกแล้วมีจำนวนเต็มอยู่ # k # ดังนั้น:
# m = 2k + 1 #
ตอนนี้ตั้งแต่ # ม # เป็นรากของสมการของเรามันต้องเป็นอย่างนั้น:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
และเรามีข้อขัดแย้งเช่นกัน # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # แม้กระทั่ง แต่ #ยู# แปลก
ต่อไปให้เราพิจารณากรณีที่ # ม # แม้กระทั่งจากนั้นมีจำนวนเต็มอยู่ # k # ดังนั้น:
# m = 2k #
ในทำนองเดียวกันตั้งแต่ # ม # เป็นรากของสมการของเรามันต้องเป็นอย่างนั้น:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
และอีกครั้งเรามีความขัดแย้งเช่น # 2 (2k ^ 2 + k) # แม้กระทั่ง แต่ #ยู# แปลก
เราได้พิสูจน์ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มของสมการ # x ^ 2 + x - u = 0 # ที่ไหน #ยู# เป็นจำนวนเต็มคี่
ดังนั้นข้อพิสูจน์ได้รับการพิสูจน์ QED
ตอบ:
ดูด้านล่าง
คำอธิบาย:
ถ้า # x ^ 2 + x-U = 0 # แล้วก็
# x (x + 1) = U # ถ้าเป็นเช่นนั้น # x # เป็นจำนวนเต็ม # x (x + 1) # แม้กระทั่งเป็นความขัดแย้งเพราะ #ยู# โดยสมมติฐานเป็นเลขคี่
