ตอบ:
สำหรับสี่เหลี่ยมด้านขนาน #เอบีซีดี# พื้นที่คือ
#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #
คำอธิบาย:
สมมุติว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานของเรา #เอบีซีดี# ถูกกำหนดโดยพิกัดของสี่ยอด - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.
ในการกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเราต้องการความยาวของฐาน # | AB | # และความสูง # | DH | # จากจุดสุดยอด # D # ชี้ # H # ด้านข้าง # AB # (นั่นคือ, #DH_ | _AB #).
ก่อนอื่นเพื่อลดความซับซ้อนของงานให้ย้ายไปยังตำแหน่งเมื่อจุดสุดยอดของมัน # A # เกิดขึ้นพร้อมกับที่มาของพิกัด พื้นที่จะเหมือนกัน แต่การคำนวณจะง่ายขึ้น
ดังนั้นเราจะทำการแปลงพิกัดต่อไปนี้:
# U = x-x_A #
# V = Y-y_A #
จากนั้น# U, V #) พิกัดของจุดยอดทั้งหมดจะเป็น:
รุ่น A ประเภทสิทธิ U_A = 0 V_B = 0 #
รุ่น B ประเภทสิทธิ U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #
#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #
#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #
สี่เหลี่ยมด้านขนานของเราถูกกำหนดโดยเวกเตอร์สองตัว:
# p = (U_B, V_B) # และ # q = (U_D, V_D) #
กำหนดความยาวของฐาน # AB # ตามความยาวของเวกเตอร์ # P #:
# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #
ความยาวความสูง # | DH | # สามารถแสดงเป็น # | โฆษณา | * sin (/ _ BAD) #.
ความยาว โฆษณา # # คือความยาวของเวกเตอร์ # Q #:
# | โฆษณา | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #
มุม # / _ BAD # สามารถกำหนดได้โดยใช้สองนิพจน์สำหรับผลิตภัณฑ์สเกลาร์ (จุด) ของเวกเตอร์ # P # และ # Q #:
# (* p Q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | P | * | Q | * cos (/ _ BAD) #
จากที่
# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #
# บาป ^ 2 (/ _ BAD) = 1 cos ^ 2 (/ _ BAD) = #
# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #
# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #
ตอนนี้เรารู้ส่วนประกอบทั้งหมดในการคำนวณพื้นที่แล้ว:
ฐาน # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:
ระดับความสูง # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #
พื้นที่เป็นผลิตภัณฑ์ของพวกเขา:
#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #
ในแง่ของพิกัดดั้งเดิมดูเหมือนว่า:
#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #
ตอบ:
การสนทนาอื่น
คำอธิบาย:
หลักฐานทางเรขาคณิต
พิจารณาจากตัวเลข
เราสามารถสร้างสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ได้อย่างง่ายดายเมื่อทราบจุดยอดสามจุด (พูด A, B, D)
เนื่องจากเส้นทแยงมุม BD แบ่งครึ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่สมภาคกัน
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
= 2 พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABD
= 2 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู BAPQ + พื้นที่ของกับดัก BQRD - พื้นที่ของกับดัก DAPR
=2# 2/1 (AP + BQ) PQ + 2/1 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #
= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #
=# Y_AX_B + ยกเลิก (Y_BX_B) - ยกเลิก (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + ยกเลิก (Y_DX_D) - ยกเลิก (Y_BX_B) -Y_AX_D-ยกเลิก (Y_DX_D) + ยกเลิก (Y_DX_A)
=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #
สูตรนี้จะให้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
หลักฐานการพิจารณาเวกเตอร์
นอกจากนี้ยังสามารถพิจารณาได้ #vec (AB) # และ# vec (AD) #
ตอนนี้
ตำแหน่งเวกเตอร์ของจุด A โดยมีจุดกำเนิด O #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #
ตำแหน่งเวกเตอร์ของจุด B w.r, ต้นกำเนิด O #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #
ตำแหน่งเวกเตอร์ของจุด D w.r, ต้นกำเนิด O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #
ตอนนี้
พื้นที่ของ Parallelogram ABCD
# = ฐาน (AD) * Height (BE) = AD * h #
# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #
อีกครั้ง
#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) Hati + (Y_D-Y_A) hatj #
#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) Hati + (Y_B-Y_A) hatj #
#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #
พื้นที่ = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #
=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + ยกเลิก (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B ยกเลิก (Y_AX_A) | #
=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #
=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #
=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #
ดังนั้นเราจึงมีสูตรเดียวกัน
