เป็นที่ทราบกันว่าสมการ bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 มีหนึ่งรูทจริง พิสูจน์ว่าสมการ x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 ไม่มีรากจริง?

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

รากสำหรับ # BX ^ 2 (a-3b) x + B = 0 # เป็น

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

รากจะเกิดขึ้นพร้อมกันและเป็นจริงหาก

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

หรือ

# A = B # หรือ #a = 5b #

กำลังแก้ไข

# x ^ 2 + (AB) x + (AB-B ^ 2 + 1) = 0 # เรามี

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

เงื่อนไขสำหรับรากที่ซับซ้อนคือ

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

ตอนนี้ทำ #a = b # หรือ #a = 5b # เรามี

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

เอาเป็นว่าถ้า # BX ^ 2 (a-3b) x + B = 0 # มีรากที่แท้จริงเหมือนกันในเวลานั้น # x ^ 2 + (AB) x + (AB-B ^ 2 + 1) = 0 # จะมีรากที่ซับซ้อน

เราได้รับสมการ:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

มีหนึ่งรากที่แท้จริงดังนั้นการเลือกปฏิบัติของสมการนี้เป็นศูนย์:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. A = B #, หรือ # a = 5b #

เราพยายามแสดงสมการ:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

ไม่มีรากที่แท้จริง สิ่งนี้จะต้องมีการเลือกปฏิบัติเชิงลบ ความแตกต่างสำหรับสมการนี้คือ:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

และตอนนี้ให้เราพิจารณาสองกรณีที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นไปตามสมการแรก:

กรณีที่ 1: # A = B #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

กรณีที่ 2: # A = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

ดังนั้นเงื่อนไขของสมการแรกจึงเป็นเช่นนั้นสมการที่สองมักมีการเลือกปฏิบัติเชิงลบและดังนั้นจึงมีรากที่ซับซ้อน (เช่นไม่มีรากจริง), QED