สมมติว่าคุณมี traingle พร้อมกับด้าน: a, b และ c การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคุณสามารถอนุมานจากความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ได้อย่างไร? i) a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ii) a ^ 2 + b ^ 2 lt c ^ 2 iii) a ^ 2 + b ^ 2 gt c ^ 2

ตอบ:

โปรดดูที่ด้านล่าง.

คำอธิบาย:

(ผม) อย่างที่เรามี # a ^ 2 + B ^ 2 c = ^ 2 #ซึ่งหมายความว่าผลรวมของกำลังสองของทั้งสอง # A # และ # B # เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสในด้านที่สาม c # #. ดังนั้น # / C # _ ฝั่งตรงข้าม c # # จะเป็นมุมฉาก

สมมติว่าไม่ใช่อย่างนั้นจากนั้นวาดฉากตั้งฉากจาก # A # ไปยัง # BC #ให้มันอยู่ที่ C # '#. ตอนนี้ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส # a ^ 2 + B ^ 2 = (AC) ^ 2 #. ดังนั้น # AC '= c = AC #. แต่นี่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น # / _ ACB # เป็นมุมฉากและ #Delta ABC # เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขอให้เราระลึกสูตรโคไซน์ของสามเหลี่ยมซึ่งระบุว่า c # ^ 2 = a ^ 2 + B ^ 2-2abcosC #.

(ii) เป็นช่วงของ # / C # _ คือ # 0 ^ @ <C <180 ^ @ #ถ้า # / C # _ เป็นป้าน # COSC # เป็นลบและด้วยเหตุนี้ c # ^ 2 = a ^ 2 + B ^ 2 + 2AB | COSC | #. ดังนั้น # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 # วิธี # / C # _ เป็นป้าน

ให้เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อตรวจสอบและวาด # DeltaABC # กับ # / C _> 90 ^ @ # และวาด # AO # ตั้งฉากกับขยาย # BC # ตามที่ปรากฏ. ตอนนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

# a ^ 2 + B ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #

= # (BO-OC) ^ 2 + AC ^ 2 #

= # BO ^ 2 + OC ^ 2-2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #

= # BO ^ 2 + AO ^ 2-2OC (BO-OC) #

= # AB ^ 2-2OCxxBC c = ^ 2-OCxxBC #

ด้วยเหตุนี้ # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 #

(iii) และถ้า # / C # _ เป็นแบบเฉียบพลัน # COSC # เป็นบวกและด้วยเหตุนี้ c # ^ 2 = a ^ 2 + B ^ 2-2ab | COSC | #. ดังนั้น # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 # วิธี # / C # _ เป็นแบบเฉียบพลัน

ใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสอีกครั้งเพื่อตรวจสอบสิ่งนี้วาด # DeltaABC # กับ # / C _ <90 ^ @ # และวาด # AO # ตั้งฉากกับ # BC # ตามที่ปรากฏ. ตอนนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

# a ^ 2 + B ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #

= # (BO + OC) ^ 2 + AO ^ 2 + OC ^ 2 #

= # BO ^ 2 + OC ^ 2 + 2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #

= # AB ^ 2 + 2OC (CO + OB) #

= c # ^ 2 + 2axxOC #

ด้วยเหตุนี้ # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 #