เพิ่มเติมเกี่ยวกับกลศาสตร์?

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

เราจะใช้สูตรที่เรียกว่าออยเลอร์ลากรองจ์

# d / dt ((partialL) / (จุดบางส่วน q_i)) - (บางส่วน L) / (บางส่วน q_i) = Q_i #

ที่ไหน #L = T-V #. ในแบบฝึกหัดนี้เรามี # v = 0 # ดังนั้น #L = T #

การเรียกร้อง # x_a # ศูนย์กลางของพิกัดกระบอกสูบด้านซ้ายและ # x_b # เรามีความแข็งแกร่ง

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

ที่นี่ # sinalpha = R / Lsintheta # เพื่อทดแทน อัลฟา # #

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

ตอนนี้ได้รับ

#dot x_b = dot x_a + Rsin (theta) dot theta - ((R ^ 2cos (theta) sin (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) dot theta #

แต่

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

ที่นี่ # J # โมเมนตัมความเฉื่อยเป็นศูนย์มวล นอกจากนี้

# v_a = dot x_a = R dot theta #

#omega_a = dot theta #

ดังนั้นหลังจากทดแทนและโทร #xi (theta) = 1- (Rcos (theta)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (theta)) # เรามี

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) dot theta ^ 2 #

เราเลือก # theta # เป็นพิกัดทั่วไป ดังนั้นเราจะลด # F # ดำเนินการในพิกัด # x # เพื่อแรงเทียบเท่าใน # theta #. พิกัดนี้ทำหน้าที่หมุนอย่างชาญฉลาดดังนั้นเราจึงต้องการโมเมนตัมทั่วไปเกี่ยวกับจุดสัมผัสในพื้นซึ่งก็คือ

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

หลังจากได้รับสมการการเคลื่อนที่

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (theta) xi (theta)) (cos (theta) xi (theta) + sin (theta) xi '(theta)) dot theta ^ 2 + (1+ (1 + sin (theta) xi (theta)) ^ 2) ddot theta) = FR (1 + sin (theta)) # ตอนนี้แก้เพื่อ #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (theta)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (theta) Xi (theta)) (cos (theta) Xi (theta) + sin (theta) Xi '(theta)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (theta) Xi (theta)) ^ 2)) #

แนบสองแปลง รายการแรก # theta # วิวัฒนาการและที่สองมีไว้สำหรับ # dottheta #

ค่าพารามิเตอร์:

# R = 0.5, J = 1, M = 1, L = 2 # แรงที่ใช้จะแสดงเป็นสีแดงลดลง