ถ้า f (x) = x tan ^ -1 แล้ว f (1) คืออะไร

ตอบ:

# f (1) # ที่ไหน #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

คำอธิบาย:

ฉันจะถือว่าคำถามคือ # f (1) # ที่ไหน #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

โดยปกติฉันจะปฏิบัติต่อ # arctan # เป็นหลายค่า แต่ที่นี่ด้วยสัญกรณ์ฟังก์ชั่นที่ชัดเจน # f (x) # ฉันจะบอกว่าเราต้องการค่าหลักของแทนเจนต์ผกผัน มุมที่มีแทนเจนต์ 1 ในจตุภาคแรกคือ # 45 ^ circ # หรือ # ปี่ / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

นั่นคือจุดสิ้นสุด แต่ลองแยกคำถามกันก่อนแล้วจดจ่อกับอะไร #arctan t # จริงๆหมายถึง

ฉันมักจะคิดว่า #tan ^ -1 (t) # หรืออย่างเท่าเทียมกัน (และฉันคิดว่าสัญกรณ์ที่ดีกว่า) #arctan (t) # เป็น การแสดงออกแบบหลายค่า. "ฟังก์ชัน" arctan ไม่ใช่ฟังก์ชันจริง ๆ เพราะเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของบางสิ่งบางอย่างเป็นระยะซึ่งไม่สามารถมีอินเวอร์สผ่านโดเมนทั้งหมดได้

นี่เป็นสิ่งที่สร้างความสับสนให้กับนักเรียนและอาจารย์ ในทันทีเรามีสิ่งที่ดูเหมือนฟังก์ชั่นที่ไม่ได้ใช้งานได้จริง พวกมันลื่นไถลใต้เรดาร์แล้ว กฎใหม่จำเป็นสำหรับการจัดการกับพวกเขา แต่พวกเขาไม่เคยระบุไว้อย่างชัดเจน คณิตศาสตร์เริ่มคลุมเครือเมื่อไม่ควร

# x = arctan t # เป็นทางออกที่ดีที่สุด #tan x = t. # มีจำนวนอนันต์นับไม่ถ้วนหนึ่งครั้งต่อหนึ่งช่วงเวลา แทนเจนต์มีช่วงเวลาของ # # ปี่ ดังนั้นการแก้ปัญหาคือ # # ปี่ ซึ่งเป็นที่ที่ #pi k # มาจากจำนวนเต็ม # k #.

ฉันมักจะเขียนค่าหลักของค่าผกผันแทนเจนต์ในชื่ออาร์คตันด้วยเงินทุน A. น่าเสียดายที่โสคราตีสรักษา "แก้ไข" ไว้ ฉันจะเหลวไหลที่นี่:

#t = tan x # มีโซลูชั่น

#x = arctan t = text {Arc} ข้อความ {tan} (t) + pi k quad # สำหรับจำนวนเต็ม # k #.