คุณจะแก้ปัญหาระบบ x ^ 2 + y ^ 2 = 9 และ x-3y = 3 ได้อย่างไร

ตอบ:

มีสองวิธีในการแก้ปัญหาระบบนี้: คะแนน #(3,0)# และ #(-12/5, -9/5)#.

คำอธิบาย:

นี่เป็นระบบที่น่าสนใจของปัญหาสมการเพราะมันให้ผลมากกว่าหนึ่งวิธีต่อหนึ่งตัวแปร

เหตุนี้เกิดขึ้นเป็นสิ่งที่เราสามารถวิเคราะห์ได้ในขณะนี้ สมการแรกคือรูปแบบมาตรฐานสำหรับวงกลมที่มีรัศมี #3#. ประการที่สองคือสมการที่ยุ่งเหยิงเล็กน้อยสำหรับหนึ่งบรรทัด ทำความสะอาดแล้วมันจะมีลักษณะเช่นนี้:

#y = 1/3 x - 1 #

ดังนั้นโดยธรรมชาติถ้าเราพิจารณาว่าคำตอบของระบบนี้จะเป็นจุดที่เส้นตรงและวงกลมตัดกันเราไม่ควรแปลกใจที่รู้ว่าจะมีสองวิธี หนึ่งเมื่อบรรทัดเข้าสู่วงกลมและอีกหนึ่งเมื่อมันออก ดูกราฟนี้:

กราฟ {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

ก่อนอื่นเราเริ่มด้วยการจัดการสมการที่สอง:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

เราสามารถแทรกสิ่งนี้ลงในสมการแรกเพื่อแก้ปัญหาได้ # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสองทางแก้ หนึ่งสำหรับ #y = 0 # และอีกสำหรับ # 9 + 5y = 0 # ซึ่งหมายความว่า #y = -9 / 5 #.

ตอนนี้เราสามารถแก้ปัญหาสำหรับ # x # ที่แต่ละเหล่านี้ # Y # ค่า

ถ้า # การ y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

ถ้า #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

ดังนั้นคำตอบสองข้อของเราคือ: #(3,0)# และ #(-12/5, -9/5)#. หากคุณมองย้อนกลับไปที่กราฟคุณจะเห็นได้ว่าสิ่งเหล่านี้ตรงกับจุดสองจุดที่เส้นตัดผ่านวงกลม