อัตราส่วนทั่วไปของความก้าวหน้าแบบ ggeometric คือ r เทอมแรกของความก้าวหน้าคือ (r ^ 2-3r + 2) และผลรวมของอนันต์คือ S แสดงว่า S = 2-r (ฉันมี) ค้นหาชุดของค่าที่เป็นไปได้ที่ สามารถทำได้ไหม

ตอบ:

# S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

ตั้งแต่ # | R | <1 # เราได้รับ # 1 <S <3 #

คำอธิบาย:

เรามี

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

ผลรวมทั่วไปของอนุกรมเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุดคือ

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

ในกรณีของเรา

#S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

ชุดทางเรขาคณิตมาบรรจบกันเมื่อ # | R | <1 #ดังนั้นเราจึงได้รับ

# 1 <S <3 #

ตอบ:

#color (สีน้ำเงิน) (1 <S <3) #

คำอธิบาย:

# เท่ ^ (n-1) #

ที่ไหน # BBR # เป็นอัตราส่วนทั่วไป # BBA # เป็นเทอมแรกและ # BBN # เป็นคำที่ n

เราจะบอกอัตราส่วนทั่วไปคือ # R #

เทอมแรกคือ # (R ^ 2-3r + 2) #

ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตให้เป็น:

รุ่น A ((1-R ^ n) / (1-R)) #

สำหรับผลรวมถึงอนันต์สิ่งนี้จะลดความยุ่งยากไปที่:

# A / (1-R) #

เราบอกว่าผลรวมนี้คือ S

แทนค่าของเราสำหรับ a และ r:

# (R ^ 2-3r + 2) / (1-R) = S #

ปัจจัยตัวเศษ:

# ((R-1) (R-2)) / (1-R) = S #

ตัวคูณและตัวหารคูณด้วย #-1#

# ((R-1) (2-R)) / (R-1) = S #

ยกเลิก:

# (ยกเลิก ((R-1)) (2-R)) / (ยกเลิก ((1-R))) = S #

# S = 2-R #

ในการค้นหาค่าที่เป็นไปได้เราจำได้ว่าอนุกรมเรขาคณิตมีผลรวมเป็นค่าอนันต์หาก # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

นั่นคือ

# 1 <S <3 #