พิสูจน์ว่าถ้า 1

ตอบ:

ดูคำอธิบาย

คำอธิบาย:

ปล่อย # A = P / q # ที่ไหน # P # และ # Q # เป็นจำนวนเต็มบวก

# 1ltp / q # ดังนั้น # qltp #. # P / qlt2 # ดังนั้น # plt2q #. ดังนั้น # qltplt2q #.

# A + 1 / A = P / q + Q / p = (PP) / (QP) + (QQ) / (PQ) = (P ^ 2 + Q ^ 2) / (PQ) = (P ^ 2 + 2PQ + Q ^ 2-2pq) / (PQ) = (P + Q) ^ 2 / (PQ) - (2PQ) / (PQ) = (P + Q) ^ 2 / (PQ) -2 #

# (Q + Q) ^ 2 / (QQ) LT (P + Q) ^ 2 / (PQ) LT (2q + Q) ^ 2 / (2qq) #*

# (2q) ^ 2 / q ^ 2LT (P + Q) ^ 2 / (PQ) LT (3Q) ^ 2 / (2q ^ 2) #

# (4q ^ 2) / q ^ 2LT (P + Q) ^ 2 / (PQ) LT (9Q ^ 2) / (2q ^ 2) #

# 4LT (P + Q) ^ 2 / (PQ) lt9 / 2 #

# 4-2lt (P + Q) ^ 2 / (PQ) -2lt9 / 2-2 #

# 2LT (P + Q) ^ 2 / (PQ) -2lt5 / 2 #

# 2lta + 1 / alt5 / 2 #

# 5 / 2lt6 / 2 #

# 5 / 2lt3 #

# 2lta + 1 / alt3 #

~~ หัวข้อขั้นสูงเพิ่มเติมล่วงหน้า ~~

* นี่ถือว่าเป็น # P # เพิ่มขึ้น # (P + Q) ^ 2 / (PQ) # เพิ่มขึ้น สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้อย่างสังหรณ์ใจโดยดูที่กราฟของ # การ y = (x + Q) ^ 2 / (XQ) # บน #x ใน (q, 2q) # สำหรับค่าบวกต่างๆของ # Q #หรือโดยขั้นตอนแคลคูลัสด้านล่าง

~

# เดล / (Delp) (P + Q) ^ 2 / (PQ) = 1 / qdel / (Delp) (P + Q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (Delp) (P + Q) ^ 2 - (P + Q) ^ 2del / (Delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (หน้า 2 (P + Q) - (P + Q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (P + Q) - (P + Q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2PQ) - (P ^ 2 + 2PQ + Q ^ 2)) / (P ^ 2q) = (P ^ 2q ^ 2) / (P ^ 2q) #.

บน #p in (q, 2q) #:

ตั้งแต่ # pgtqgt0 #, # P ^ ^ 2 2gtq # ดังนั้น # P ^ 2-Q ^ 2gt0 #.

ตั้งแต่ #Q> 0 #, # P ^ 2qgt0 #

ตั้งแต่ # P ^ 2-Q ^ 2gt0 # และ # P ^ 2qgt0 #, # (P ^ 2q ^ 2) / (P ^ 2q) gt0 #

ตั้งแต่ # เดล / (Delp) (P + Q) ^ 2 / (PQ) = (P ^ 2q ^ 2) / (P ^ 2q) # และ # (P ^ 2q ^ 2) / (P ^ 2q) gt0 #, # เดล / (Delp) (P + Q) ^ 2 / (PQ) gt0 #

ดังนั้น # (P + Q) ^ 2 / (PQ) # กำลังเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง # Q # และ # qltplt2q # เพราะ # เดล / (Delp) (P + Q) ^ 2 / (PQ) # เป็นบวก

~~~~

ตอบ:

ในรายละเอียด

คำอธิบาย:

ข้อ จำกัด ที่นี่ (1):

# 1 <a <2 #

จำกัด (2):

โดยทฤษฎีบทซึ่งกันและกัน

# 1/1> 1 / a> 1/2 #

# 1> a> 1/2 #

ในข้อ จำกัด 1 เพิ่ม 1 ทั้งสองด้าน

# 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #

# 2 <a + 1 <3 #

#color (แดง) (a + 1 <3) #

ในข้อ จำกัด เดียวกันเพิ่ม 1/2

# (1 + 2/1) <(A + 2/1) <(2 + 2/1) #

โปรดทราบอีกครั้งว่า #2 <2+1/2#

ดังนั้น # A + 2/1 # ต้องน้อยกว่า 2

#color (แดง) (a + 1/2) <2 #

ดังนั้นในข้อ จำกัด 2

# 1> a> 1/2 #

เพิ่มทั้งสองด้าน

# 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #

# 3> a + 1 / a> 2 #

# 2 <a + 1 / a <3 #

เราทำอย่างนั้นเพราะ # A + 1 <3 #

ดังนั้น # A + 1 / a # ต้องน้อยกว่า 3

อีกครั้ง # A + 2/1 <2 # แต่ในข้อ จำกัด นี้ # a + 1 / a> a + 1/2 #

ดังนั้น, # A + 1 / a # จะต้องมากกว่า 2

ดังนั้น # 1> 1 / a> 1 2 #

โดยการเพิ่มทั้งสองด้าน

# 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #

# 3> a + 1 / a> 2 #

# 2 <a + 1 / a <3 # ได้รับการพิสูจน์