ค่าของ r (กับ r> 0) สำหรับชุดใดที่มาบรรจบกัน?

ตอบ:

#R <1 / E # เป็นเงื่อนไขสำหรับการบรรจบกันของ #sum_ (n = 1) ^ ^ oor LN (n) #

คำอธิบาย:

ฉันจะตอบเฉพาะส่วนที่เกี่ยวกับการบรรจบกันส่วนแรกที่ได้รับคำตอบในความคิดเห็น เราสามารถใช้ # R ^ LN (n) = n ^ LN (R) # เพื่อเขียนผลรวม #sum_ (n = 1) ^ ^ oor LN (n) # ในรูปแบบ

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {สำหรับ} p = -ln (r) #

ชุดทางด้านขวาเป็นรูปแบบของฟังก์ชัน Riemann Zeta ที่มีชื่อเสียง มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าชุดนี้มาบรรจบกันเมื่อ #p> 1 #. การใช้ผลลัพธ์นี้ให้โดยตรง

# -ln (r)> 1 หมายถึง ln (r) <- 1 หมายถึง r <e ^ -1 = 1 / e #

ผลลัพธ์เกี่ยวกับฟังก์ชัน Riemann Zeta เป็นที่รู้จักกันดีมากหากคุณต้องการ ab initio คำตอบคุณสามารถลองทดสอบแบบอินทิกรัลสำหรับการลู่เข้า