แก้หา x ใน RR สมการ sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

ตอบ:

#x ใน 5, 10 #

คำอธิบาย:

ปล่อย # U = x-1 #. จากนั้นเราสามารถเขียนทางซ้ายมือของสมการใหม่ได้

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (U) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

หมายเหตุการปรากฏตัวของ #sqrt (U) # ในสมการและเราแค่มองหาค่าที่แท้จริงดังนั้นเราจึงมีข้อ จำกัด #u> = 0 #. ด้วยสิ่งนี้เราจะพิจารณากรณีที่เหลือทั้งหมด:

กรณีที่ 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (U) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

ดังนั้น # U = 4 # เป็นทางออกเดียวในช่วงเวลา #0, 4#

กรณีที่ 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (U) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

เนื่องจากนี่คือการพูดซ้ำซากทุกค่าใน #4, 9# เป็นทางออก

กรณีที่ 3: #u> = 9 #

# | sqrt (U) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

ดังนั้น #u = 9 # เป็นทางออกเดียวในช่วงเวลา # 9, oo) #

นำมารวมกันเราได้ #4, 9# ตามที่โซลูชันกำหนดไว้สำหรับค่าที่แท้จริงของ #ยู#. แทนใน #x = u + 1 #เรามาถึงชุดทางออกสุดท้าย #x ใน 5, 10 #

เมื่อมองดูกราฟทางซ้ายมือสิ่งนี้จะตรงกับสิ่งที่เราคาดหวัง: