พิสูจน์ว่าหมายเลข sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) ไม่สมเหตุสมผลสำหรับจำนวนธรรมชาติใด ๆ ที่มากกว่า 1?

ตอบ:

ดูคำอธิบาย …

คำอธิบาย:

สมมติ:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # มีเหตุผล

จากนั้นสแควร์จะต้องมีเหตุผลเช่น:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

และด้วยเหตุนี้คือ:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

เราสามารถยกกำลังสองและลบซ้ำ ๆ เพื่อค้นหาว่าสิ่งต่อไปนี้ต้องมีเหตุผล:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

ด้วยเหตุนี้ # n = k ^ 2 # สำหรับจำนวนเต็มบวก #k> 1 # และ:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

โปรดทราบว่า:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

ด้วยเหตุนี้ # k ^ 2 + K-1 # ไม่ใช่สแควร์ของจำนวนเต็มอย่างใดอย่างหนึ่งและ #sqrt (k ^ 2 + K-1) # ไม่มีเหตุผลแย้งเรายืนยันว่า #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # มีเหตุผล

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

ทะลึ่ง

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = P / q # กับ # P / q # ไม่ใช่ที่ลดได้เรามี

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

ซึ่งเป็นเรื่องไร้สาระเพราะตามผลนี้รากที่สองของจำนวนเต็มบวกจะมีเหตุผล