คุณจะรวม int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx โดยใช้การแทนที่ตรีโกณมิติได้อย่างไร

ตอบ:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((จ ^ x + 10) / (sqrt (จ ^ (2x) + 20E ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

คำอธิบาย:

วิธีแก้ปัญหานั้นยาวหน่อย !!!

จากที่ได้รับ #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

รับทราบว่า # i = sqrt (-1) # จำนวนจินตภาพ

ตั้งค่าจำนวนเชิงซ้อนนั้นไว้พักหนึ่งแล้วจึงหาอินทิกรัล

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

โดยทำตารางให้สมบูรณ์และทำการจัดกลุ่มบางอย่าง:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

การทดแทนตรีโกณมิติครั้งแรก: ##

มุมแหลม # W # กับด้านตรงข้าม # = E ^ x + 10 # และด้านข้างติดกัน #=1# กับด้านตรงข้ามมุมฉาก =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

ปล่อย # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (วินาที ^ 2w * dw) / e ^ x #

แล้ว

# dx = (วินาที ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

อินทิกรัลกลายเป็น

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (วินาที ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (วินาที ^ 2w) * (วินาที ^ 2w * dw) / (แทน w-10) #

#int 1 / วินาที w * (วินาที ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

จากตรีโกณมิติ #sec w = 1 / cos w # และ #tan w = sin w / cos w #

อินทิกรัลกลายเป็น

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # และ

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

การทดแทนตรีโกณมิติที่สอง:

ปล่อย # w = 2 tan ^ -1 z #

# DW = 2 * DZ / (1 + Z ^ 2) #

และนอกจากนี้ยังมี # z = tan (w / 2) #

สามเหลี่ยมมุมฉาก: มุมแหลม # w / 2 # กับด้านตรงข้าม # = z #

ด้านข้างติดกัน #=1# และด้านตรงข้ามมุมฉาก # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

จากตรีโกณมิติ: เรียกคืนสูตรครึ่งมุม

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

แก้หา #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

ยังใช้ตัวตน #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

มันเป็นไปตามนั้น

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

อินทิกรัลกลายเป็น

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + Z ^ 2)) #

ลดความซับซ้อนของผลการค้นหา

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

โดยทำตารางให้สมบูรณ์:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

ใช้สูตรตอนนี้ #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

ปล่อย # U = Z + 1/10 # และ # A = sqrt101 / 10 # และรวมถึงการกลับ # i = sqrt (-1) #

เขียนคำตอบสุดท้ายโดยใช้ตัวแปรดั้งเดิม

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((จ ^ x + 10) / (sqrt (จ ^ (2x) + 20E ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #