ตอบ:
# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #
คำอธิบาย:
เรามี:
# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #
หรืออีกทางหนึ่ง:
# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A
มันคือ ที่สาม สั่งซื้อสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นแบบไม่เป็นเอกพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ แนวทางมาตรฐานคือการหาทางออก
รากของสมการเสริมช่วยกำหนดส่วนต่าง ๆ ของการแก้ปัญหาซึ่งหากอิสระเชิงเส้นจากนั้นการทับซ้อนของการแก้ปัญหาในรูปแบบการแก้ปัญหาทั่วไปเต็มรูปแบบ
- รากที่แตกต่างที่แท้จริง
# m = อัลฟ่า, เบต้า, … # จะให้ผลเฉลยอิสระเชิงเส้นตรงของแบบฟอร์ม# y_1 = Ae ^ (ALPHAX) # ,# y_2 = Be ^ (betax) # , … - รากซ้ำจริง
# m = อัลฟา # จะให้ผลเฉลยของแบบฟอร์ม# การ y = (ขวาน + B) จ ^ (ALPHAX) # โดยที่พหุนามมีระดับเดียวกับการทำซ้ำ - คอมเพล็กซ์รูต (ซึ่งต้องเกิดขึ้นเป็นคู่ผัน)
# m = + p -qi # จะให้ผลเฉลยคู่ที่เป็นอิสระต่อกันของแบบฟอร์ม# การ y = E ^ (px) (Acos (QX) + Bsin (QX)) #
โซลูชันเฉพาะ
เพื่อหาคำตอบเฉพาะของสมการที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน:
# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # กับ#f (x) = 4 # ….. C
จากนั้นเป็น
อย่างไรก็ตามโซลูชันดังกล่าวมีอยู่แล้วในโซลูชัน CF และต้องพิจารณาโซลูชันที่มีศักยภาพของแบบฟอร์ม
ความแตกต่าง
# y '= a #
# y '' = 0 #
# y '' '= 0 #
การแทนที่ผลลัพธ์เหล่านี้ใน DE A ที่เราได้รับ:
# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #
ดังนั้นเราจึงสร้างโซลูชันเฉพาะ:
# y_p = x #
วิธีแก้ปัญหาทั่วไป
ซึ่งจะนำไปสู่ GS ของ A}
# y (x) = y_c + y_p #
# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #
หมายเหตุวิธีนี้มี