ทำไมแฟคทอเรียลจึงไม่มีอยู่สำหรับจำนวนลบ

ตอบ:

จะมีความขัดแย้งกับฟังก์ชั่นถ้ามันมีอยู่

คำอธิบาย:

หนึ่งในการใช้ประโยชน์หลัก ๆ ของแฟกทอเรียลคือการให้จำนวนวิธีในการเปลี่ยนรูปวัตถุ คุณไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ #-2# วัตถุเพราะคุณไม่สามารถมีน้อยกว่า #0# วัตถุ!

ตอบ:

มันขึ้นอยู่กับว่าคุณหมายถึง …

คำอธิบาย:

แฟคทอเรียลกำหนดไว้สำหรับจำนวนเต็มดังนี้:

#0! = 1#

# (n + 1)! = (n + 1) n! #

สิ่งนี้ทำให้เราสามารถกำหนดสิ่งที่เราหมายถึงโดย "แฟคทอเรียล" สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ ที่ไม่เป็นลบ

คำจำกัดความนี้จะขยายไปถึงหมายเลขอื่นได้อย่างไร?

ฟังก์ชั่นแกมมา

มีฟังก์ชั่นต่อเนื่องที่อนุญาตให้เรา "เข้าร่วมจุด" และกำหนด "แฟคทอเรียล" สำหรับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบหรือไม่?

ใช่.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

บูรณาการตามส่วนต่าง ๆ แสดงให้เห็นว่า #Gamma (t + 1) = t Gamma (t) #

สำหรับจำนวนเต็มบวก # n # เราพบว่า #Gamma (n) = (n-1)! #

เราสามารถขยายความหมายของ #Gamma (t) # เป็นจำนวนลบโดยใช้ #Gamma (t) = (Gamma (t + 1)) / t #ยกเว้นในกรณี #t = 0 #.

น่าเสียดายที่นี่หมายความว่า #Gamma (t) # ไม่ได้ถูกกำหนดเมื่อ # เสื้อ # เป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มลบ # # แกมมา ฟังก์ชั่นมีเสาง่าย ๆ ที่ #0# และจำนวนเต็มลบ

ตัวเลือกอื่น

มีส่วนขยายอื่น ๆ ของ "แฟคทอเรียล" ที่มีค่าสำหรับจำนวนเต็มลบหรือไม่

ใช่.

Roman Factorial ถูกกำหนดดังนี้:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, if n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!) ถ้า n < 0):} #

นี่คือการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์เอสโรมันไม่ใช่ชาวโรมันและใช้เพื่อให้สัญกรณ์ที่สะดวกสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของลอการิทึมประสานกัน