สูตรในการค้นหาพื้นที่ของสิบสองเหลี่ยมปกติคืออะไร

ตอบ:

#S _ ("สิบสองเหลี่ยมปกติ") = (3 / (แทน 15 ^ @)) "ด้าน" ^ 2 ~ = 11.196152 * "ด้าน" ^ 2 #

คำอธิบาย:

เมื่อนึกถึงสิบสองเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้เป็นวงกลมเราจะเห็นว่ามันเกิดจากสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 12 เหลี่ยมซึ่งด้านข้างเป็นรัศมีวงกลมของวงกลมรัศมีของวงกลมและด้านสิบสองเหลี่ยม ในสามเหลี่ยมเหล่านี้แต่ละมุมตรงข้ามกับด้านสิบสองเหลี่ยมเท่ากับ #360^@/12=30^@#; พื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละอันนั้นคือ # ("ด้าน" * "สูง) / 2 #เราเพียงแค่ต้องกำหนดความสูงที่ตั้งฉากกับด้านสิบสองเหลี่ยมเพื่อแก้ไขปัญหา

ในสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่กล่าวถึงซึ่งฐานคือด้านสิบสองเหลี่ยมและด้านเท่ากันคือรัศมีของวงกลมซึ่งมีมุมตรงข้ามกับฐาน (อัลฟา # #) เท่ากับ #30^@#มีเพียงเส้นที่ลากจากจุดยอดที่รัศมีของวงกลมมาบรรจบกัน (จุด C) ที่ตัดขวางตั้งฉากกับด้านสิบสองเหลี่ยม: เส้นนี้แบ่งมุม อัลฟา # # เช่นเดียวกับกำหนดความสูงของรูปสามเหลี่ยมระหว่างจุด C และจุดที่ฐานถูกดัก (จุด M) เช่นเดียวกับการหารฐานในสองส่วนเท่ากัน (ทั้งหมดเนื่องจากสามเหลี่ยมขนาดเล็กสองรูปที่เกิดขึ้นนั้นเป็นสมภาค)

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมขนาดเล็กสองรูปที่กล่าวถึงเป็นรูปที่ถูกต้องเราจึงสามารถกำหนดความสูงของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ด้วยวิธีนี้:

#tan (alpha / 2) = "เทียบกับ cathetus" / "cathetus ที่อยู่ติดกัน" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("ด้าน" / 2) / "ความสูง" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @) #

ถ้าอย่างนั้นเราก็มี

#S_ (สิบสองเหลี่ยม) = 12 * S_ (สามเหลี่ยม) = 12 * (("ด้าน") ("ความสูง")) / 2 = 6 * ("ด้าน") ("ด้าน") / (2 * ผิวสี 15 ^ @) # => #S_ (สิบสองเหลี่ยม) = 3 * ("ด้าน") ^ 2 / (แทน 15 ^ @) #