คุณจะหาขีด จำกัด ของ [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)] เมื่อ x เข้าหา 0 ได้อย่างไร

ตอบ:

ทำการคูณคอนจูเกตและทำให้ง่ายขึ้น #lim_ (x-> 0) (sinx บาป * ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

คำอธิบาย:

การทดแทนโดยตรงทำให้เกิดรูปแบบที่ไม่แน่นอน #0/0#ดังนั้นเราจะต้องลองอย่างอื่น

ลองทวีคูณ # (sinx บาป * ^ 2x) / (1-cosx) # โดย # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx บาป * ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx บาป * ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx บาป * ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

เทคนิคนี้เรียกว่า คอนจูเกตคูณ และมันใช้งานได้เกือบทุกครั้ง แนวคิดคือการใช้ความแตกต่างของคุณสมบัติสี่เหลี่ยม # (a-b) (A + B) = a ^ 2-B ^ 2 # เพื่อทำให้ตัวเศษหรือส่วนนั้นง่ายขึ้น (ในกรณีนี้คือตัวส่วน)

จำได้ว่า # บาป ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, หรือ # บาป ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. ดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่ส่วนได้ซึ่งก็คือ # 1 cos ^ 2x #กับ # บาป ^ 2x #:

# ((sinx) (บาป ^ 2x) (1 + cosx)) / (บาป ^ 2x) #

ตอนนี้ # บาป ^ 2x # ยกเลิก:

# ((sinx) (ยกเลิก (บาป ^ 2x)) (1 + cosx)) / (ยกเลิก (บาป ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

เสร็จสิ้นโดยการ จำกัด การแสดงออกนี้:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#