แสดงว่า x / 2 0 ? - แคลคูลัส 2024

ตอบ:

ตรวจสอบคำตอบด้านล่าง

สำหรับ # x = 0 # เรามี

# f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #

เราพิจารณาฟังก์ชั่นใหม่ #G (x) = x-E ^ (- x) + 1 #, # x ##ใน## RR #

#G (0) = 0 #, #G '(x) = 1 + E ^ (- x)> 0 #, # x ##ใน## RR #

ผลที่ตามมา # G # กำลังเพิ่มขึ้น # RR #. ดังนั้นเพราะมันเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด # G # คือ "#1-1#" (หนึ่งต่อหนึ่ง)

ดังนั้น, # f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #G (ฉ (0)) = กรัม (0) # #<=># # f (0) = 0 #

เราต้องแสดงให้เห็นว่า # x / 2 <## f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #

#1/2<## f (x) / x <## f (x) # #<=>#

#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <## f (x) #

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยมีอยู่ # x_0 ##ใน## (0, x) #

ซึ่ง # f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #

# f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, # x ##ใน## RR # ดังนั้น

โดยสร้างความแตกต่างทั้งสองส่วนที่เราได้รับ

# f (x) -e ^ (- f (x)) (- f (x)) = 1 # #<=># # f (x) + F (x) จ ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#

# f (x) (1 + E ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + E ^ (- f (x))> 0) #

# f (x) = 1 / (1 + E ^ (- f (x))) #

ฟังก์ชั่น # 1 / (1 + E ^ (- f (x))) # เป็น differentiable ผลที่ตามมา # ฉ '# เป็น differentiable และ # F # แตกต่างกัน 2 เท่า

# f '' (x) = - ((1 + E ^ (- f (x)))) / (1 + E ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#

# (ฉ '(x) จ ^ (- f (x))) / ((1 + E ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, # x ##ใน## RR #

-> # ฉ '# กำลังเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด # RR # ซึ่งหมายความว่า

# x_0 ##ใน## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <## x # #<=>#

# f '(0) <## f '(x_0) <## f (x) # #<=>#

# 1 / (1 + E ^ (- f (0))) ##<## f (x) / x <## f (x) # #<=>#

#1/2<## f (x) / x <## f (x) # # <=> ^ (x> 0) #

# x / 2 <## f (x) <##xf '(x) #