วิธีการคำนวณนี้ int_0 ^ 1 บันทึก (1-x) / xdx + ตัวอย่าง

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

น่าเสียดายที่ฟังก์ชั่นภายในอินทิกรัลจะไม่รวมเข้ากับสิ่งที่ไม่สามารถแสดงออกได้ในแง่ของฟังก์ชั่นพื้นฐาน คุณจะต้องใช้วิธีการเชิงตัวเลขเพื่อทำสิ่งนี้

ฉันสามารถแสดงวิธีการใช้การขยายอนุกรมเพื่อรับ ค่าโดยประมาณ.

เริ่มต้นด้วยชุดเรขาคณิต:

# 1 / (1-R) = 1 + R + R ^ 2 + R ^ 3 ^ + R 4 … = sum_ (n = 0) ^ ^ oor n # สำหรับ # rlt1 #

ตอนนี้บูรณาการด้วยความเคารพ # R # และการใช้ข้อ จำกัด #0# และ # x # เพื่อรับสิ่งนี้:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

การรวมด้านซ้าย:

# int_0 ^ x1 / (1-R) ดร = - LN (1-R) _ ^ 0 x = -ln (1-x) #

ตอนนี้รวมด้านขวาด้วยการรวมคำโดยคำ:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = x + x ^ 2/2 + x ^ 03/03 + x ^ 04/04 + … #

ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

ตอนนี้หารด้วย # x #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3 x ^ 4/3 -… #

ตอนนี้เรามีนิพจน์ชุดพลังงานสำหรับฟังก์ชันที่เราเริ่มต้นด้วย สุดท้ายเราสามารถรวมกันอีกครั้งเพื่อรับ:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3 x ^ 4/3 -… DX #

การบูรณาการคำศัพท์ด้านขวาโดยคำศัพท์ให้เรา:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9 x ^ 16/04 -… _ ^ 0 1 #

การประเมินขีด จำกัด ของข้อกำหนดสี่คำจะให้ค่าประมาณแก่เรา:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

ตอนนี้มีเพียงสี่เทอมเท่านั้น หากคุณต้องการตัวเลขที่แม่นยำยิ่งขึ้นเพียงใช้คำศัพท์เพิ่มเติมในซีรีส์ ตัวอย่างเช่นไปที่คำที่ 100:

# int_0 ^ 1ln (1-x) /x

นอกจากนี้หากคุณทำงานผ่านกระบวนการเดียวกัน แต่ใช้สัญกรณ์การสรุป (เช่นซิกม่าใหญ่แทนที่จะเขียนข้อกำหนดของซีรี่ส์) คุณจะพบว่า:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

ซึ่งเป็นเพียงฟังก์ชัน Riemann-Zeta ของ 2, i.e:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

เรารู้คุณค่าของสิ่งนี้แล้ว: #zeta (2) = pi ^ 6/2 #.

ดังนั้นคุณค่าที่แท้จริงของอินทิกรัลสามารถอนุมานได้ว่า:

# int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = ^ -pi 2/6 #