ตอบ:
100
คำอธิบาย:
ปล่อย #A = a_ (ij) # ถั่ว # nxxn # เมทริกซ์ที่มีรายการจากฟิลด์ F เมื่อค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของ A มีสองสิ่งที่เราต้องทำ ขั้นแรกให้กำหนดสัญญาณแต่ละรายการจากเมทริกซ์สัญญาณ ผู้สอนพีชคณิตเชิงเส้นของฉันเรียกมันว่า "กระดานหมากรุกสัญญาณ" ซึ่งติดอยู่กับฉัน
# ((+, -, + …), (-, +, -, …), (+, -, + …), (vdots, vdots, vdots, ddots)) #
ดังนั้นนี่หมายความว่ามีการให้สัญญาณที่เกี่ยวข้องกับแต่ละรายการ # (- 1) ^ (i + J) # ที่ไหน #ผม# เป็นแถวขององค์ประกอบและ # J # คือคอลัมน์
ต่อไปเราจะกำหนดปัจจัยร่วมของรายการเป็นผลิตภัณฑ์ของดีเทอร์มีแนนต์ของ # (n-1) xx (n-1) # เมทริกซ์ที่เราได้รับโดยการลบแถวและคอลัมน์ที่มีรายการนั้นและเครื่องหมายของรายการนั้น
จากนั้นเราจะได้รับดีเทอร์มิแนนต์โดยคูณแต่ละรายการในแถวบนสุด (หรือคอลัมน์) โดยเป็นปัจจัยร่วมและรวมผลลัพธ์เหล่านี้
ตอนนี้ทฤษฏีออกนอกทางมาลองทำปัญหากัน
#A = ((1,4, -2), (3, -1,5), (7,0,2)) #
เครื่องหมายที่เกี่ยวข้องกับ #a_ (11) # คือ + พร้อม #a_ (12) # เป็น - และด้วย #a_ (13) # คือ +
เราได้สิ่งนั้น
#det (A) = color (แดง) (1) color (สีน้ำเงิน) ((- 1,5), (0,2)) + color (แดง) (4) color (น้ำเงิน) ((- 1) (3,5), (7,2) + สี (แดง) ((- 2)) สี (สีน้ำเงิน) ((3, -1), (7,0)) #
ที่สีแดงหมายถึงรายการจากแถวบนสุดและสีน้ำเงินเป็นปัจจัยร่วมของพวกเขา
โดยใช้วิธีการเดียวกันเราจะเห็นว่าปัจจัยของ # 2xx2 # มดลูก
#det ((a, b), (c, d)) = ad-bc #
ดังนั้น:
#det (A) = สี (แดง) (1) สี (สีน้ำเงิน) ((- 1) * 2 - 5 * 0)) สี (แดง) (- 4) สี (น้ำเงิน) (3 * 2-5 * 7)) สี (แดง) (- 2) สี (สีน้ำเงิน) ((3 * 0 - (-1) * 7)) #
#det (A) = -2 + 116 - 14 = 100 #
