ตอบ:
การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สองแสดงให้เห็นว่าจำนวนที่สำคัญ (จุด) # x = 7/4 # ให้ขั้นต่ำในท้องถิ่นสำหรับ # F # ในขณะที่ ไม่พูดอะไร เกี่ยวกับธรรมชาติของ # F # ที่หมายเลขวิกฤติ (คะแนน) # x = 0,1 #.
คำอธิบาย:
ถ้า # f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #จากนั้นกฎของผลิตภัณฑ์จะบอกว่า
# f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #
# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #
# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #
ตั้งค่านี้ให้เท่ากับศูนย์และแก้หา # x # หมายความว่า # F # มีหมายเลขวิกฤติ (คะแนน) ที่ # x = 0,4 / 7,1 #.
การใช้กฎผลิตภัณฑ์ให้อีกครั้ง:
#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #
# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #
# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #
# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #
# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #
ตอนนี้ # f '' (0) = 0 #, # f '' (1) = 0 #และ # f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.
การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สองจึงมีความหมายว่าจำนวนที่สำคัญ (จุด) # x = 7/4 # ให้ขั้นต่ำในท้องถิ่นสำหรับ # F # ในขณะที่ ไม่พูดอะไร เกี่ยวกับธรรมชาติของ # F # ที่หมายเลขวิกฤติ (คะแนน) # x = 0,1 #.
ในความเป็นจริงจำนวนที่สำคัญ (จุด) ที่ # x = 0 # ให้สูงสุดในท้องถิ่นสำหรับ # F # (และการทดสอบอนุพันธ์ครั้งแรกมีความแข็งแกร่งเพียงพอที่จะบอกเป็นนัยถึงแม้ว่าการทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สองไม่ได้ให้ข้อมูล) และจำนวนวิกฤต (จุด) ที่ # x = 1 # ให้ทั้งท้องถิ่นหรือนาทีสูงสุด # F #แต่ "จุดอานม้า" (หนึ่งมิติ)
