หากคุณหมุนแม่พิมพ์เดียวจำนวนม้วนที่คาดหวังจำเป็นต้องหมุนทุกหมายเลขหนึ่งครั้งคือเท่าใด

ตอบ:

# 14.7 "ม้วน" #

คำอธิบาย:

#P "โยนหมายเลขทั้งหมด" = 1 - P "1,2,3,4,5 หรือ 6 ไม่ถูกโยน" #

#P "A หรือ B หรือ C หรือ D หรือ E หรือ F" = P A + P B + … + P F - #

#P A and B - P A and C …. + P A และ B และ C + … #

# "นี่คือ" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "สิ่งนี้เป็นความน่าจะเป็นของเรา" #

#sum n * a ^ (n-1) = ผลรวม (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) รวม a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = ผลรวม n * P "ตัวเลขทั้งหมดที่ส่งออกหลังจากที่โยนทิ้ง" #

# = sum n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "เราต้องลบอันเนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้น P_1 (0)" #

# "ให้ค่าที่ผิดพลาด P = 1 สำหรับ n = 1" #

# => P = 15.7 - 1 = 14.7 #

ตอบ:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

คำอธิบาย:

คิดว่ามันเหมือนหกมินิเกม สำหรับแต่ละเกมเราจะหมุนผู้เล่นจนกว่าเราจะหมุนหมายเลขที่ยังไม่หมุน - สิ่งที่เราจะเรียกว่า "ชนะ" จากนั้นเราเริ่มเกมถัดไป

ปล่อย # X # เป็นจำนวนม้วนที่ต้องหมุนทุกหมายเลขอย่างน้อยหนึ่งครั้ง (เช่นชนะมินิเกมทั้ง 6 เกม) แล้วปล่อย # x_i # เป็นจำนวนม้วนที่จำเป็นในการ "ชนะ" มินิเกม #ผม# (สำหรับ #ผม# จาก 1 ถึง 6) จากนั้นในแต่ละ # x_i # เป็นตัวแปรสุ่มเรขาคณิตที่มีการกระจาย # "ภูมิศาสตร์" (p_i) #.

ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มทางเรขาคณิตแต่ละตัวคือ # 1 / p_i #.

สำหรับเกมแรก # p_1 = 6/6 # เนื่องจากผลลัพธ์ทั้งหมด 6 รายการเป็น "ใหม่" ดังนั้น, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

สำหรับเกมที่สอง 5 จาก 6 ผลลัพธ์เป็นเรื่องใหม่ดังนั้น # P_2 = 6/5 #. ดังนั้น, # "E" (X_2) = 6/5 = 1.2 #.

สำหรับเกมที่สาม 4 จาก 6 ม้วนที่เป็นไปได้นั้นใหม่ดังนั้น # p_3 = 6/4 #ความหมาย # "E" (X_3) = 6/4 = 1.5 #.

จากจุดนี้เราสามารถเห็นรูปแบบ เนื่องจากจำนวนม้วน "ชนะ" ลดลง 1 สำหรับแต่ละเกมใหม่ความน่าจะเป็นของ "ชนะ" ในแต่ละเกมลดลง #6/6# ไปยัง #5/6#จากนั้น #4/6#เป็นต้นหมายถึงจำนวนม้วนต่อเกมที่คาดหวัง #6/6# ไปยัง #6/5#ถึง #6/4#และต่อ ๆ ไปจนถึงเกมสุดท้ายที่เราคาดหวังว่าจะใช้เวลา 6 ม้วนเพื่อรับหมายเลขสุดท้าย

ดังนั้น:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (white) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (white) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (white) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (white) ("E" (X)) = 14.7 #