พื้นที่ผิวของของแข็งที่สร้างขึ้นโดยการหมุน f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x ใน [1,3] รอบแกน x คืออะไร?

ตอบ:

กำหนดเครื่องหมายแล้วรวมเป็นส่วน ๆ พื้นที่คือ:

# A = 39.6345 #

คำอธิบาย:

คุณต้องรู้ว่า # f (x) # เป็นค่าลบหรือค่าบวก #1,3#. ดังนั้น:

# XE ^ -x-XE ^ x #

# x (จ ^ -x-E ^ x) #

ในการพิจารณาสัญญาณปัจจัยที่สองจะเป็นค่าบวกเมื่อ:

# อี ^ -x-E ^ x> 0 #

# 1 / E ^ x-E ^ x> 0 #

# อี ^ x * 1 / E ^ x-E ^ * x E ^ x> E ^ x * 0 #

ตั้งแต่ # อี ^ x> 0 # สำหรับใด ๆ #x ใน (-oo, + oo) # ความไม่เท่าเทียมนั้นไม่เปลี่ยนแปลง:

# 1-E ^ (x + x)> 0 #

# 1-E ^ (2x)> 0 #

# อี ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

# x <0 #

ดังนั้นฟังก์ชั่นจึงเป็นบวกเฉพาะเมื่อ x เป็นลบและกลับกัน เนื่องจากยังมี # x # ปัจจัยใน # f (x) #

# f (x) = x (จ ^ -x-E ^ x) #

เมื่อปัจจัยหนึ่งเป็นบวกอีกปัจจัยเป็นลบดังนั้น f (x) คือ ลบเสมอ. ดังนั้นพื้นที่:

# A = ^ -int_1 3f (x) DX #

# A = -int_1 ^ 3 (XE ^ -x-XE ^ x) DX #

# A = -int_1 ^ ^ 3xe -xdx + int_1 ^ ^ 3xe xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (จ ^ -x) ') DX + int_1 ^ 3x (จ ^ x) DX #

# A = int_1 ^ 3x * (จ ^ -x) 'DX + int_1 ^ 3x (จ ^ x) DX #

# A = XE ^ -x _1 ^ 3 ^ 3 int_1 (x) 'e ^ -xdx + x (จ ^ x) _ 1 ^ 3 ^ 3 int_1 (x)' e ^ xdx #

# A = XE ^ -x _1 ^ 3 ^ int_1 3e ^ -xdx + x (จ ^ x) _ 1 ^ 3 ^ int_1 3e ^ xdx #

# A = XE ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (จ ^ x) _ ^ 1 3- อี ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3E ^ -3-1 * E ^ -1) + (E ^ -3-E ^ -1) + (3E ^ 3-1 * E ^ 1) - (จ ^ ^ 3e 1) #

# A = 3 / E ^ 3-1 / E + 1 / E ^ 3-1 / E + 3e ^ 3e-E ^ 3 + E #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

ใช้เครื่องคิดเลข:

# A = 39.6345 #

ตอบ:

พื้นที่ = 11,336.8 ตารางหน่วย

คำอธิบาย:

ที่ได้รับ #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

เพื่อความเรียบง่ายให้ # f (x) y = #

และ # y = xe ^ -x -xe ^ x #

อนุพันธ์อันดับแรก # Y '# เป็นสิ่งจำเป็นในการคำนวณพื้นที่ผิว

พื้นที่ # = 2pi int_1 ^ 3 y # # # ds

ที่ไหน # # ds# = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

พื้นที่ # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

กำหนดอนุพันธ์อันดับแรก # Y '#:

แยก # y = x (e ^ -x - e ^ x) # ใช้อนุพันธ์ของสูตรผลิตภัณฑ์

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายและแยกตัวประกอบผลลัพธ์คือ

อนุพันธ์อันดับแรก # Y '= ^ อี -x * (1-x) e-x ^ * (1 + x) #

คำนวณตอนนี้พื้นที่:

พื้นที่ = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # # ds

พื้นที่ # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

พื้นที่

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # DX #

สำหรับอินทิกรัลซับซ้อนเช่นนี้เราอาจใช้กฎของ Simpson:

ดังนั้น

พื้นที่

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # DX #

พื้นที่ = -11,336.804

สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับทิศทางของการปฏิวัติเพื่อให้สามารถมีพื้นที่ผิวด้านลบหรือพื้นที่ผิวบวก ขอให้เราลองพิจารณาค่าบวกพื้นที่ = 11336.804 ตารางหน่วย