ปริมาตรของของแข็งที่ผลิตโดยการหมุน f (x) = cotx, x ใน [pi / 4, pi / 2] รอบแกน x คืออะไร?

ตอบ:

# v = pi-1 / 4pi ^ 2 #

คำอธิบาย:

สูตรสำหรับค้นหาปริมาตรของของแข็งที่ผลิตโดยการหมุนฟังก์ชัน # F # รอบ ๆ # x #- แกนคือ

# V = ^ int_a BPI f (x) ^ 2DX #

ดังนั้นสำหรับ # f (x) = cotx #ปริมาตรของการปฏิวัติที่มั่นคงระหว่าง #pi "/" 4 # และ #pi "/" 2 # คือ

# V = int_ (PI "/" 4) ^ (PI "/" 2) ปี่ (cotx) ^ 2DX = piint_ (PI "/" 4) ^ (PI "/" 2) เปล ^ 2xdx = piint_ (PI" / "4) ^ (PI" / "2) CSC ^ 2x-1DX = -pi cotx + x _ (PI" / "4) ^ (PI" / "2) = - ปี่ ((0-1) + (PI / 2-ปี่ / 4)) = pi-1 / 4pi ^ 2 #

ตอบ:

# "พื้นที่แห่งการปฏิวัติรอบ" # # x "แกน" = 0.674 #

คำอธิบาย:

# "พื้นที่แห่งการปฏิวัติรอบ" # # x "แกน" = ^ piint_a ข (f (x)) ^ 2DX #

# f (x) = cotx #

# f (x) ^ 2 = cotx #

#int_ (PI / 4) ^ (PI / 2) เปล ^ = 2xdx int_ (PI / 4) ^ (PI / 2) CSC ^ 2x-1DX #

#COLOR (สีขาว) (int_ (PI / 4) ^ (PI / 2) เปล ^ 2xdx) = pi -cotx-x _ (PI / 4) ^ (PI / 2) #

#COLOR (สีขาว) (int_ (PI / 4) ^ (PI / 2) เปล ^ 2xdx) = pi (- เปล (PI / 2) -pi / 2) - (- เปล (PI / 4) -pi / 4) #

#COLOR (สีขาว) (int_ (PI / 4) ^ (PI / 2) เปล ^ 2xdx) = pi (- 0-ปี่ / 2) - (- 1 ปี่ / 4) #

#COLOR (สีขาว) (int_ (PI / 4) ^ (PI / 2) เปล ^ 2xdx) = pi -pi / 2 + 1 + ปี่ / 4 #

#COLOR (สีขาว) (int_ (PI / 4) ^ (PI / 2) เปล ^ 2xdx) = 0.674 #