คุณจะหาอนุพันธ์ของ y = Arcsin ((3x) / 4) ได้อย่างไร?

ตอบ:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

คำอธิบาย:

คุณจะต้องใช้กฎลูกโซ่ จำได้ว่าสูตรสำหรับสิ่งนี้คือ:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

แนวคิดก็คือคุณต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนอกสุดก่อนแล้วจึงค่อยเข้าไปข้างใน

ก่อนที่เราจะเริ่มลองระบุฟังก์ชั่นทั้งหมดของเราในนิพจน์นี้ก่อน เรามี:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # เป็นฟังก์ชันนอกสุดดังนั้นเราจะเริ่มด้วยการหาอนุพันธ์ของมัน ดังนั้น:

# dy / dx = color (สีน้ำเงิน) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) #

สังเกตว่าเรายังคงรักษามันไว้อย่างไร # ((3x) / 4) # ในนั้น. จำไว้ว่าเมื่อใช้กฎลูกโซ่คุณจะเห็นความแตกต่างภายนอก แต่ก็ยัง รักษาฟังก์ชั่นด้านใน เมื่อแยกความแตกต่างด้านนอก

# (3x) / 4 # เป็นฟังก์ชันนอกสุดถัดไปของเราดังนั้นเราจะต้องติดแท็กอนุพันธ์ของมันเช่นกัน ดังนั้น:

#color (สีเทา) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) * สี (สีน้ำเงิน) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * (3/4) #

และนี่คือจุดสิ้นสุดของส่วนแคลคูลัสสำหรับปัญหานี้! สิ่งที่เหลืออยู่คือการทำให้เข้าใจง่ายขึ้นเพื่อจัดระเบียบนิพจน์นี้และเราลงท้ายด้วย:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

หากคุณต้องการความช่วยเหลือเพิ่มเติมเกี่ยวกับกฎลูกโซ่ฉันขอแนะนำให้คุณดูวิดีโอของฉันในหัวข้อ:

หวังว่าจะช่วย:)

ตอบ:

ได้รับ: #color (สีน้ำเงิน) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (เขียว) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

คำอธิบาย:

ได้รับ:

#color (สีน้ำเงิน) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

ฟังก์ชั่นองค์ประกอบ กำลังใช้ฟังก์ชันหนึ่งกับผลลัพธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง:

สังเกตได้ว่า ข้อโต้แย้ง ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ #sin ^ (- 1) ("") # เป็นฟังก์ชั่น

กฎลูกโซ่ เป็นกฎสำหรับความแตกต่าง องค์ประกอบของฟังก์ชั่น เหมือนที่เรามี

กฎโซ่:

#color (สีแดง) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (หรือ)

#color (สีน้ำเงิน) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

เราจะได้รับ

#color (สีน้ำเงิน) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

ปล่อย, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" และ "" u = (3x) / 4 #

#COLOR (สีเขียว) (Step.1 #

เราจะแยกความแตกต่าง

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Function.1

ใช้ ผลอนุพันธ์ทั่วไป:

#color (สีน้ำตาล) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

การใช้ผลลัพธ์ข้างต้นทำให้เราสามารถแยกแยะได้ Function.1 ด้านบนเป็น

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) "" # Result.1

#COLOR (สีเขียว) (Step.2 #

ในขั้นตอนนี้เราจะแยกความแตกต่าง ฟังก์ชั่นภายใน # (3x) / 4 #

# D / (DX) ((3x) / 4) #

ดึงค่าคงที่ออกมา

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Result.2

#COLOR (สีเขียว) (Step.3 #

เราจะใช้ทั้งสอง ผลลัพธ์ระดับกลาง, Result.1 และ Result.2 เพื่อดำเนินการต่อ.

เราจะเริ่มด้วย

#color (เขียว) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

ทดแทนกลับ #COLOR (สีน้ำตาล) (U = ((3x) / 4) #

จากนั้น

#color (เขียว) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / ยกเลิก 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * ยกเลิก 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

ดังนั้นคำตอบสุดท้ายของเราสามารถเขียนเป็น

#color (เขียว) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #