GDC คืออะไร (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)

ตอบ:

ตัวหารร่วมมากของ #2^32-2^24+2^16-2^8+1# และ #2^8+1# คือ #1#

คำอธิบาย:

โปรดทราบว่า:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

เป็นจำนวนเฉพาะ - ในความเป็นจริงหนึ่งในไม่กี่คนที่รู้จักหมายเลขแฟร์มาต์

ดังนั้นปัจจัยทั่วไปเท่านั้นที่เป็นไปได้ของ #2^8+1# และ #2^32-2^24+2^16-2^8+1# เป็น #1# และ #257#.

อย่างไรก็ตามตามที่คุณได้ระบุไว้ในคำถาม:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

เป็นรูปแบบ:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

ปัจจัยหนึ่งที่ # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # ของ #2^40+1# สอดคล้องกับรากที่ห้าที่แท้จริงของความสามัคคีและ # (x + y) # ไม่ใช่ปัจจัยของควอร์ติคที่เหลือโดยอัตโนมัติ # ^ x 4 x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-XY ^ 3 + Y ^ 4 # ซึ่งมีปัจจัยเชิงเส้นอื่น ๆ ล้วน แต่ไม่ใช่ความซับซ้อนที่แท้จริง

เราสามารถแบ่งเองได้ # ^ x 4 x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-XY ^ 3 + Y ^ 4 # โดย # x + y ที่ # เพื่อให้ได้ส่วนที่เหลือพหุนามแล้วแทน # x = 2 ^ 8 # และ # การ y = 1 # เพื่อตรวจสอบว่านี่ไม่ใช่กรณีพิเศษ …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

ดังนั้นส่วนที่เหลือคือ:

# 5y ^ 4 = 5 (สี (สีน้ำเงิน) (1)) ^ 4 = 5 #

เนื่องจากส่วนที่เหลือไม่ใช่ศูนย์ #2^32-2^24+2^16-2^8+1# และ #2^8+1# ไม่มีปัจจัยทั่วไปที่ใหญ่กว่า #1#.