ทำไมคุณต้องหารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน?

ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องทำกับตัวเลขที่ซับซ้อนของคุณรูปแบบเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติมีประโยชน์มากหรือมีหนามมาก

ตัวอย่างเช่นให้ # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # และ # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

ลองคำนวณทั้งสองรูปแบบตรีโกณมิติ:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # และ # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # และ # rho_2 = sqrt {3 + 1 = 2} #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # และ # rho_3 = sqrt {1} + 3 = 2 #

ดังนั้นรูปแบบตรีโกณมิติคือ:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

การเพิ่ม

สมมติว่าคุณต้องการคำนวณ # z_1 + + z_2 z_3 #. ถ้าคุณใช้แบบฟอร์มพีชคณิตคุณจะได้รับ

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

ง่ายมาก. ตอนนี้ลองกับแบบฟอร์มตรีโกณมิติ …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

ปรากฎว่าวิธีที่สั้นที่สุดในการเพิ่มสองนิพจน์นี้คือการแก้ค่าโคไซน์และไซน์ซึ่งหมายความว่า … เปลี่ยนเป็นรูปพีชคณิต!

รูปแบบพีชคณิตมักจะเป็นรูปแบบที่ดีที่สุดในการเลือกในการเพิ่มจำนวนเชิงซ้อน.

การคูณ

ตอนนี้เราพยายามคำนวณ # z_1 * * * * * * * * z_2 z_3 #. การใช้รูปแบบพีชคณิตนั้นต้องการการคำนวณที่น่ารำคาญมากมาย แต่การแก้ผลิตภัณฑ์นี้ด้วยรูปแบบตรีโกณมิตินั้นง่ายกว่า:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

ส่วนผสมที่ใช้พิสูจน์ความเสมอภาคที่สองนั้นมาจากตรีโกณมิติ: ทั้งสอง สูตรเพิ่มเติม

#sin (alpha + เบต้า) = sin (alpha) cos (เบต้า) + sin (เบต้า) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (เบต้า) -sin (alpha) sin (เบต้า) #

การคูณจำนวนเชิงซ้อนยิ่งกว่าเดิม (แต่ไม่ใช่แนวคิดง่ายกว่า) ในรูปแบบเลขชี้กำลัง

ในบางกรณีรูปแบบตรีโกณมิติเป็นรูปแบบหนึ่งระหว่างรูปแบบระหว่างพีชคณิตและรูปแบบเลขชี้กำลัง รูปแบบตรีโกณมิติเป็นวิธีการสลับระหว่างสองสิ่งนี้ ในแง่นี้มันเป็น "พจนานุกรม" เพื่อ "แปล" แบบฟอร์ม