ค้นหาจุดสำคัญทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันนี้หรือไม่?

ตอบ:

#(0,-2)# เป็นจุดอาน

#(-5,3)# เป็นขั้นต่ำของท้องถิ่น

คำอธิบาย:

เราจะได้รับ #G (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y #

ก่อนอื่นเราต้องหาจุดที่ # (delg) / (delx) # และ # (delg) / (Dely) # ทั้งคู่เท่ากับ 0

# (delg) / (delx) = 6x + 6Y + 12 #

# (delg) / (Dely) = 6x + 6Y ^ 2-24 #

# 6 (x + Y + 2) = 0 #

# 6 (x + Y ^ 2-4) = 0 #

# x + Y + 2 = 0 #

# x = -y-2 #

# -y-2 + Y ^ 2-4 = 0 #

# Y ^ 2-Y-6 = 0 #

# (y-3) (y + 2) = 0 #

# y = 3 หรือ -2 #

# x = -3-2 = -5 #

# x = 2-2 = 0 #

จุดวิกฤติเกิดขึ้นที่ #(0,-2)# และ #(-5,3)#

ตอนนี้สำหรับการจำแนก:

ดีเทอร์มิแนนต์ของ # f (x, y) # ได้รับจาก #D (x, y) = (เดล ^ 2G) / (delx ^ 2) (เดล ^ 2G) / (Dely ^ 2) - ((เดล ^ 2G) / (delxy)) ^ 2 #

# (เดล ^ 2G) / (delx ^ 2) = เดล / (delx) ((delg) / (delx)) = เดล / (delx) (6x + 6Y + 12) = 6 #

# (เดล ^ 2G) / (Dely ^ 2) = เดล / (Dely) ((delg) / (Dely)) = เดล / (Dely) (6x + 6Y ^ 2-24) = 12y #

# (เดล ^ 2G) / (delxy) = เดล / (delx) ((delg) / (Dely)) = เดล / (delx) (6x + 6Y ^ 2-24) = 6 #

# (เดล ^ 2G) / (delyx) = เดล / (Dely) ((delg) / (delx)) = เดล / (Dely) (6x + 6Y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

#D (0, -2) = 72 (-2) = -36 -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

ตั้งแต่ #D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# เป็นจุดอาน

และตั้งแต่ #D (-5,3)> 0 และ (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# เป็นขั้นต่ำของท้องถิ่น (# (เดล ^ 2G) / (delx ^ 2) = 6 # ดังนั้นเราไม่จำเป็นต้องทำการคำนวณใด ๆ)