ช่วงของฟังก์ชั่นสมการกำลังสองคืออะไร?

ตอบ:

ช่วงของ #f (x) = axe ^ 2 + bx + c # คือ:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "ถ้า" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "ถ้า" a <0):} #

คำอธิบาย:

รับฟังก์ชั่นสมการกำลังสอง:

#f (x) = axe ^ 2 + bx + c "" # กับ #a! = 0 #

เราสามารถทำตารางให้สมบูรณ์เพื่อค้นหา:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

สำหรับค่าที่แท้จริงของ # x # ระยะกำลังสอง # (x + b / (2a)) ^ 2 # ไม่เป็นลบโดยใช้ค่าต่ำสุด #0# เมื่อ #x = -b / (2a) #.

แล้ว:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

ถ้า #a> 0 # ดังนั้นนี่คือค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ # f (x) # และช่วงของ # f (x) # คือ # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

ถ้า #a <0 # นี่คือค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ # f (x) # และช่วงของ # f (x) # คือ # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

อีกวิธีในการดูที่นี้คือการให้ #y = f (x) # และดูว่ามีวิธีแก้ปัญหาสำหรับ # x # ในแง่ของ # Y #.

ได้รับ:

#y = axe ^ 2 + bx + c #

ลบออก # Y # จากทั้งสองด้านเพื่อค้นหา:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

การเลือกปฏิบัติ # # เดลต้า ของสมการกำลังสองนี้คือ:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

เพื่อให้มีทางออกที่แท้จริงเราต้องการ #Delta> = 0 # และอื่น ๆ:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

เพิ่ม # 4AC-B ^ 2 # ทั้งสองด้านเพื่อค้นหา:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

ถ้า #a> 0 # จากนั้นเราก็สามารถหารทั้งสองข้างได้ # # 4a ที่จะได้รับ:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

ถ้า #a <0 # จากนั้นเราสามารถหารทั้งสองด้านได้ # # 4a และย้อนกลับความไม่เท่าเทียมกันเพื่อรับ:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #