วิธีที่จะพิสูจน์ว่าซีรีส์นี้มาบรรจบกัน?

ตอบ:

บรรจบโดยการทดสอบเปรียบเทียบโดยตรง

คำอธิบาย:

เราสามารถใช้การทดสอบเปรียบเทียบโดยตรงเท่าที่เรามี

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE ซีรีส์เริ่มต้นที่หนึ่ง

ในการใช้การทดสอบเปรียบเทียบโดยตรงเราต้องพิสูจน์มัน # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # เป็นบวกใน # 1, OO) #.

ก่อนอื่นให้สังเกตว่าในช่วงเวลานั้น # 1, oo), cos (1 / k) # เป็นบวก สำหรับค่าของ # x # cosx # อยู่ในจตุภาคแรก (และเป็นค่าบวก) ดีสำหรับ #k> = 1, 1 / k ดังนั้น, #cos (1 / k) # เป็นบวกอย่างแน่นอน

นอกจากนี้เราสามารถพูดได้ #cos (1 / k) <= 1 #, เช่น #lim_ (K-> OO) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

จากนั้นเราสามารถกำหนดลำดับใหม่

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # เพื่อทุกสิ่ง # k. #

ดี, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

เรารู้ว่าสิ่งนี้มาบรรจบกันโดย # # p-การทดสอบซีรีส์มันอยู่ในรูปแบบ # sum1 / k ^ P # ที่ไหน # p = 2> 1 #.

จากนั้นเนื่องจากซีรี่ส์ที่มีขนาดใหญ่ขึ้นมาบรรจบกัน

ตอบ:

มันมาบรรจบกันโดยการทดสอบการเปรียบเทียบโดยตรง (ดูรายละเอียดด้านล่าง)

คำอธิบาย:

ยอมรับว่าช่วงของโคไซน์คือ -1,1 ตรวจสอบกราฟของ #cos (1 / x) #:

กราฟ {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

อย่างที่คุณเห็น สูงสุด คุณค่าที่จะได้รับจะเป็น 1 เนื่องจากเราแค่พยายามพิสูจน์การบรรจบกันที่นี่เรามาตั้งค่าเศษให้เป็น 1 โดยปล่อย:

# sum1 / (9k ^ 2) #

ตอนนี้กลายเป็นปัญหาการทดสอบเปรียบเทียบโดยตรงแบบง่าย ๆ จำสิ่งที่ทดสอบเปรียบเทียบโดยตรง:

พิจารณาซีรีย์โดยพลการ # a_n # (เราไม่รู้ว่ามันมาบรรจบกัน / แตกต่าง) และเป็นชุดที่เรารู้ว่าการบรรจบกัน / แตกต่าง # b_n #:

ถ้า #b_n> a_n # และ # b_n # ลู่เข้าหากันแล้ว # a_n # ยังมาบรรจบกัน

ถ้า #b_n <a_n # และ # b_n # แยกจากนั้น # a_n # ยังแตกต่าง

เราสามารถเปรียบเทียบฟังก์ชั่นนี้กับ #b_n = 1 / k ^ 2 #. เราทำได้เพราะเรารู้ว่ามันมาบรรจบกัน (เพราะการทดสอบ p)

ดังนั้นตั้งแต่ # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #และ # 1 / k ^ 2 # บรรจบกันเราสามารถพูดได้ว่า บรรจบชุด

แต่เดี๋ยวก่อนเราแค่พิสูจน์ว่าซีรีส์นี้มาบรรจบกันเมื่อตัวเศษ = 1 แล้วค่าอื่น ๆ #cos (1 / k) # สามารถใช้? โปรดจำไว้ว่า 1 คือ สูงสุด ค่าที่เศษสามารถใช้ ดังนั้นเนื่องจากเราได้พิสูจน์แล้วว่ามาบรรจบกันนี้เราได้พิสูจน์โดยอ้อมว่าซีรี่ส์นี้ได้รวมเข้ากับค่าใด ๆ

หวังว่าจะช่วย:)