ตอบ:
# 4/1 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7 sqrt17) #
คำอธิบาย:
ก่อนอื่นให้ # t = cosx #.
# การ y = T ^ 2 + กว่า 7 ตัน + 8 #
ทีนี้มาทำสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อแยกตัวประกอบนี้
# การ y = (t ^ 2 + กว่า 7 ตัน) + 8 #
สังเกตได้ว่า # (T + 7/2) ^ 2 = (T + 7/2) (T + 7/2) #
# t = ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# t = ^ 2 + + กว่า 7 ตัน 49/4 #
ดังนั้นเราต้องการที่จะเพิ่ม #49/4# ลงในนิพจน์แล้วลบออกอีกครั้ง
# การ y = (t ^ 2 + กว่า 7 ตัน + 49/4) + 8-49 / 4 #
สังเกตได้ว่า #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# การ y = (T + 2/7) ^ 2-17 / 4 #
ตอนนี้ทราบว่า # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# การ y = (T + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
ตอนนี้เรามีความแตกต่างของกำลังสองและสามารถแยกมันเป็นหนึ่ง
# y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (T + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# การ y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7 sqrt17) / 2) #
หากเราต้องการเราสามารถนำปัจจัยทั่วไปของ #1/2# ออกจากแต่ละส่วน:
# การ y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7 sqrt17) #
ตอบ:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
คำอธิบาย:
ปล่อย # u = cos (x) #
คำถามก็จะกลายเป็น:
ปัจจัย # U ^ 2 + 7U + 8 # คุณสามารถใช้สูตรสมการกำลังสองได้ที่นี่เช่น # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
หรือคุณสามารถทำมันได้นาน (ซึ่งไม่ได้ดีไปกว่าสูตรจริง ๆ แล้วมันเป็นหนึ่งในวิธีที่ใช้ในการกำหนดสูตรสมการกำลังสอง):
ค้นหาสองราก # r_1 # และ # r_2 # ดังนั้น # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
ขยาย: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
ดังนั้น: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
และดังนั้นจึง: # - (r_1 + r_2) = 7 # และ # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
ดังนั้นแบบฟอร์มแฟคตอริ่งคือ # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
ย่อย # u = cos (x) # ที่จะได้รับ:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
