หลายหลากของรากแท้จริงของสมการที่ข้าม / สัมผัสแกน x หนึ่งครั้งคืออะไร?

ตอบ:

ข้อสังเกตบางประการ …

คำอธิบาย:

สังเกตได้ว่า #f (x) = x ^ 3 # มีคุณสมบัติ:

• # f (x) # เป็นระดับ #3#

• คุณค่าที่แท้จริงเพียงอย่างเดียวของ # x # ซึ่ง #f (x) = 0 # คือ # x = 0 #

คุณสมบัติสองอย่างนี้เพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอที่จะพิจารณาว่าศูนย์เป็นศูนย์ # x = 0 # มีหลายหลาก #3#.

ตัวอย่างเช่นพิจารณา:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

โปรดทราบว่า:

• #G (x) # เป็นระดับ #3#

• คุณค่าที่แท้จริงเพียงอย่างเดียวของ # x # ซึ่ง #g (x) = 0 # คือ # x = 0 #

แต่ผลคูณของศูนย์ของ #G (x) # ที่ # x = 0 # คือ #1#.

บางสิ่งที่เราสามารถพูดได้:

• พหุนามของปริญญา #n> 0 # มีอย่างแน่นอน # n # ศูนย์ที่ซับซ้อน (อาจจริง) นับหลายหลาก นี่เป็นผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

• #f (x) = 0 # เฉพาะเมื่อ # x = 0 #แต่มันเป็นระดับ #3#ดังนั้นมี #3# ศูนย์คูณหลายหลาก

• ดังนั้นศูนย์ที่ # x = 0 # จะต้องมีหลายหลาก #3#.

ทำไมเหมือนกันไม่เป็นความจริง #G (x) #?

มันเป็นของการศึกษาระดับปริญญา #3#มีสามศูนย์ แต่สองในนั้นคือชื่อศูนย์ที่ไม่ซับซ้อนจริง ๆ # + - ฉัน #.

อีกวิธีในการดูที่นี่คือการสังเกตว่า # x = a # เป็นศูนย์ของ # f (x) # ถ้าและเพียงถ้า # (x-A) # เป็นปัจจัย

เราพบ:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

นั่นคือ: # x = 0 # เป็นศูนย์ #3# ครั้งกว่า