คุณจะหาปริมาตรของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง y = x ^ 2 - 1 และ y = 0 หมุนรอบเส้น x = 5 ได้อย่างไร

ตอบ:

# V = piint_0 ^ 24 (5 sqrt (y + 1)) ^ 2DY = pi (85 + 3/1) #

คำอธิบาย:

เพื่อที่จะคำนวณปริมาตรนี้เรารู้สึกว่าจะตัดมันออกเป็นชิ้น ๆ

เรามองเห็นภูมิภาคเพื่อช่วยเราในเรื่องนี้ฉันได้แนบกราฟโดยที่พื้นที่นั้นอยู่ใต้ส่วนโค้ง เราทราบว่า # การ y = x ^ 2-1 # ข้ามเส้น # x = 5 # ที่ไหน # การ y = 24 # และมันข้ามเส้น # การ y = 0 # ที่ไหน # x = 1 # กราฟ {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

เมื่อตัดภาคนี้เป็นชิ้นแนวนอนด้วยความสูง # DY # (ความสูงเล็กมาก) ความยาวของชิ้นเหล่านี้ขึ้นอยู่กับพิกัด y อย่างมาก ในการคำนวณความยาวนี้เราจำเป็นต้องรู้ระยะทางจากจุดหนึ่ง # (y, x) # ในบรรทัด # การ y = x ^ 2-1 # ถึงจุด (5, y) แน่นอนว่านี่คือ # 5 x #แต่เราต้องการทราบว่าขึ้นอยู่กับ # Y #. ตั้งแต่ # การ y = x ^ 2-1 #, พวกเรารู้ # x ^ 2 + y = 1 #เนื่องจากเรามี # x> 0 # สำหรับภูมิภาคที่เราสนใจ # x = sqrt (y + 1) #ดังนั้นระยะนี้ขึ้นอยู่กับ # Y #ซึ่งเราจะแสดงว่า #R (y) # ได้รับจาก #R (y) = 5 sqrt (y + 1) #.

ตอนนี้เราหมุนภาคนี้ไปรอบ ๆ # x = 5 #นี่หมายความว่าทุกชิ้นกลายเป็นกระบอกสูบที่มีความสูง # DY # และรัศมี #R (y) #ดังนั้นปริมาณ #pir (y) ^ 2DY #. สิ่งที่เราต้องทำตอนนี้คือการเพิ่มจำนวนน้อยขนาดเล็กเหล่านี้โดยใช้การรวม เราทราบว่า # Y # ไปจาก #0# ไปยัง #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) DY = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + Y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 3/1) #.