วิธีการรวม int e ^ x sinx cosx dx?

ตอบ:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นเราสามารถใช้ข้อมูลประจำตัว:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

ซึ่งจะช่วยให้:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

ตอนนี้เราสามารถใช้การรวมเป็นส่วน ๆ สูตรคือ:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

ฉันจะปล่อยให้ # f (x) = sin (2x) # และ #G '(x) = x ^ E / 2 #. ใช้สูตรเราจะได้รับ:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

ตอนนี้เราสามารถใช้การรวมกันเป็นส่วนได้อีกครั้งคราวนี้ด้วย # f (x) = cos (2x) # และ #G '(x) = x ^ E #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

ตอนนี้เรามีอินทิกรัลทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันดังนั้นเราจึงสามารถแก้มันได้เหมือนสมการ ก่อนอื่นเราบวกอินทิกรัลทั้งสองครั้งเข้าด้วยกัน:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

เนื่องจากเราต้องการครึ่งหนึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของอินทิกรัลดั้งเดิมเราหารทั้งสองข้างด้วย #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) e-x ^ / 5cos (2x) + C #

ตอบ:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

คำอธิบาย:

เราแสวงหา:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

ซึ่งใช้ตัวตน:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

เราสามารถเขียนเป็น:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

เพื่อความสะดวกเราแสดงว่า:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #และ # I_C = int e ^ x cos2x dx #

ตอนนี้เราทำการรวมโดยชิ้นส่วนอีกครั้ง

ปล่อย # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), (dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

จากนั้นเสียบเข้ากับสูตร IBP ที่เราได้รับ:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

ตอนนี้เรามีสมการสองอันพร้อมกันในสองสิ่งแปลกปลอม #คือ#. และ #เข้าใจแล้ว#ดังนั้นการแทนที่ B เป็น A เรามี:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

นำไปสู่:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #