วิธีการรวม int x ^ lnx?

ตอบ:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

คำอธิบาย:

เราเริ่มต้นด้วยการทดแทนด้วย # U = LN (x) #. จากนั้นเราหารด้วยอนุพันธ์ของ #ยู# เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ #ยู#:

# (du) / DX = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

ตอนนี้เราต้องแก้หา # x # ในแง่ของ #ยู#:

# U = LN (x) #

# x = ^ อียู #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

คุณอาจเดาได้ว่าสิ่งนี้ไม่มีการต่อต้านระดับต้นและคุณคิดถูก อย่างไรก็ตามเราสามารถใช้แบบฟอร์มสำหรับฟังก์ชันข้อผิดพลาดในจินตนาการ #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

เพื่อให้อินทิกรัลของเราอยู่ในรูปแบบนี้เราอาจมีตัวแปรยกกำลังสองเพียงตัวเดียวแทนเลขชี้กำลังของ # E #ดังนั้นเราต้องทำให้สี่เหลี่ยมเสร็จสมบูรณ์:

# U ^ 2 + U = (U + 2/1) ^ 2 + K #

# U ^ 2 + U u = ^ 2 + U + 4/1 + K #

# k = -1/4 #

# U ^ 2 + U = (U + 2/1) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

ตอนนี้เราสามารถแนะนำการเปลี่ยนตัวคุณด้วย # t = U + 2/1 #. อนุพันธ์เป็นเพียง #1#ดังนั้นเราไม่จำเป็นต้องทำอะไรเป็นพิเศษเพื่อรวมเข้ากับความเคารพ # เสื้อ #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2 * erfi (t) + C #

ตอนนี้เราสามารถยกเลิกการแทนที่ทั้งหมดเพื่อรับ:

#E ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (U + 2/1) + C = E ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (LN (x) +1/2) + C #