วิธีการรวม sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

ตอบ:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

คำอธิบาย:

เนื่องจากง่ายต่อการจัดการเพียงคนเดียว # x # ภายใต้สแควร์รูทเราจะทำตารางให้สมบูรณ์:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + K #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ # 2-4

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

ตอนนี้เราต้องทำการแทนที่ตรีโกณมิติ ฉันจะใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกตรีโกณมิติ (เพราะเซแคนต์อินทิกรัลมักไม่ค่อยดีเท่าไหร่) เราต้องการใช้ข้อมูลประจำตัวต่อไปนี้:

# กระบอง ^ 2 (theta) -1 = Sinh ^ 2 (theta) #

ในการทำสิ่งนี้เราต้องการ # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. เราสามารถแก้ปัญหาได้ # x # เพื่อให้ได้สิ่งทดแทนที่เราต้องการ:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ # theta #เราต้องคูณด้วยอนุพันธ์ของ # x # ด้วยความเคารพ # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

ตอนนี้เราสามารถใช้ตัวตน # กระบอง ^ 2 (theta) -1 = Sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

ตอนนี้เราใช้ตัวตน:

# Sinh ^ 2 (theta) = 2/1 (กระบอง (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

เราสามารถทำการทดแทน u อย่างชัดเจนสำหรับ # 2cosh (2theta) #แต่ก็ค่อนข้างชัดเจนว่าคำตอบคือ #sinh (2theta) #:

# = Sinh (2theta) -2theta + C #

ตอนนี้เราต้องยกเลิกการแทนที่ เราสามารถแก้ปัญหาได้ # theta # ที่จะได้รับ:

# theta = กระบอง ^ -1 ((x + 2) / 2) #

สิ่งนี้ให้:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #