พฤติกรรมสิ้นสุดของฟังก์ชั่น f (x) = ln x คืออะไร?

#f (x) = ln (x) -> infty # เช่น # x -> infty # (#ln (x) # เติบโตโดยไม่ถูกผูกมัดว่าเป็น # x # เติบโตโดยไม่มีข้อผูกมัด) และ # f (x) = LN (x) -> - infty # เช่น #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # เติบโตโดยไม่มีข้อผูกมัดในทิศทางลบเช่น # x # เข้าหาศูนย์จากทางขวา)

เพื่อพิสูจน์ความจริงแรกคุณจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น # f (x) = LN (x) # ไม่มีเส้นกำกับแนวนอนเป็น # x -> infty #.

ปล่อย #M> 0 # เป็นจำนวนบวกใด ๆ (ไม่ว่าจะใหญ่แค่ไหน) ถ้า # x> E ^ {M} #จากนั้น # f (x) = LN (x)> LN (จ ^ {M}) = M # (ตั้งแต่ # f (x) = LN (x) # เป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น) นี่เป็นการพิสูจน์ว่าเส้นแนวนอนใด ๆ # การ y = M # ไม่สามารถเป็นเส้นกำกับแนวนอนของ # f (x) = LN (x) # เช่น # x -> infty #. ความจริงที่ว่า # f (x) = LN (x) # เป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นตอนนี้หมายความว่า # f (x) = LN (x) -> infty # เช่น # x-> infty #.

เพื่อพิสูจน์ความจริงที่สองให้ #M> 0 # เป็นจำนวนบวกใด ๆ ที่กำหนด # -M <0 # เป็นจำนวนลบใด ๆ ที่กำหนด (ไม่ว่าจะไกลจากศูนย์) ถ้า # 0 <x <e ^ {- M} #จากนั้น # f (x) = LN (x) < LN (จ ^ {- M}) = - M # (ตั้งแต่ # f (x) = LN (x) # กำลังเพิ่มขึ้น). สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่า # f (x) = LN (x) # รับต่ำกว่าเส้นแนวนอนใด ๆ ถ้า # 0 <x # ใกล้เพียงพอที่จะเป็นศูนย์ นั่นหมายความว่า # f (x) = LN (x) -> - infty # เช่น #x -> 0 ^ {+} #.