อะไรคือ asymptote (s) และ hole (s), ถ้ามี, ของ f (x) = xsin (1 / x)?

ตอบ:

อ้างอิงด้านล่าง

คำอธิบาย:

เห็นได้ชัดว่ามีช่องที่ # x = 0 #ตั้งแต่หารด้วย #0# เป็นไปไม่ได้

เราสามารถทำกราฟฟังก์ชั่น:

กราฟ {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

ไม่มีเส้นกำกับหรือรูอื่น ๆ

ตอบ:

# f (x) # มีรู (ความไม่ต่อเนื่องที่ถอดออกได้) ที่ # x = 0 #.

นอกจากนี้ยังมีเส้นกำกับแนวนอน # การ y = 1 #.

มันไม่มีเส้นกำกับหรือแนวเฉียง

คำอธิบาย:

ได้รับ:

#f (x) = x sin (1 / x) #

ฉันจะใช้คุณสมบัติบางประการของ #sin (t) #กล่าวคือ:

• #abs (sin t) <= 1 "" # สำหรับคุณค่าที่แท้จริงทั้งหมดของ # เสื้อ #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # สำหรับค่าทั้งหมดของ # เสื้อ #.

ทราบก่อนว่า # f (x) # เป็นฟังก์ชั่นคู่:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- - x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

เราพบ:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

ดังนั้น:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

ตั้งแต่นี้คือ #0#ก็เช่นกัน #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

นอกจากนี้ตั้งแต่ # f (x) # คือแม้:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

สังเกตได้ว่า # f (0) # ไม่ได้ถูกกำหนดเนื่องจากเกี่ยวข้องกับการหารด้วย #0#แต่มีข้อ จำกัด ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาอยู่และยอมรับที่ # x = 0 #ดังนั้นจึงมีรู (ความไม่ต่อเนื่องที่ถอดออกได้) ที่นั่น

นอกจากนี้เรายังพบว่า:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

ในทำนองเดียวกัน:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

ดังนั้น # f (x) # มีเส้นกำกับแนวนอน # การ y = 1 #

กราฟ {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}