พิสูจน์ว่า N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) เป็นจำนวนเต็มหรือไม่

ตอบ:

พิจารณา # t ^ 3-21t-90 = 0 #

นี่มีหนึ่งรูทจริงซึ่งก็คือ #6# หรือที่เรียกว่า # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

คำอธิบาย:

พิจารณาสมการ:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

ใช้วิธีของ Cardano เพื่อแก้ปัญหาให้ #t = u + v #

แล้ว:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

เพื่อกำจัดคำศัพท์ใน # (U + V) #เพิ่มข้อ จำกัด # uv = 7 #

แล้ว:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

คูณด้วย # U ^ 3 # และจัดเรียงใหม่เพื่อรับกำลังสองมา # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

โดยสูตรสมการกำลังสองนี่มีราก:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (white) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (white) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

ตั้งแต่นี้เป็นจริงและที่มาเป็นสมมาตรมา #ยู# และ # v #เราสามารถใช้หนึ่งในรากเหล่านี้เพื่อ # U ^ 3 # และอื่น ๆ สำหรับ # v ^ 3 # เพื่ออนุมานว่าศูนย์ของ # T ^ 3-21t-90 # คือ:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

แต่เราพบ:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

ดังนั้นศูนย์จริงของ # T ^ 3-21t-90 # คือ #6#

ดังนั้น # 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#COLOR (สีขาว) () #

เชิงอรรถ

เพื่อหาสมการลูกบาศก์ฉันใช้วิธีของ Cardano ย้อนหลัง

ตอบ:

#N = 6 #

คำอธิบาย:

การทำ #x = 45 + 29 sqrt (2) # และ #y = 45-29 sqrt (2) # แล้วก็

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

ดังนั้น

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

หรือโทร #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # เรามี

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

กับ # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # และ #z = 6 # เป็นรากดังนั้น

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #