ตอบ:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
คำอธิบาย:
สำหรับปัญหานี้จะทำให้รู้สึก # 4-9x ^ 2> = 0 #ดังนั้น # -2/3 <= x <= 3/2 #. ดังนั้นเราสามารถเลือก # 0 <u = <= pi # ดังนั้น # x = 2 / 3cosu #. การใช้สิ่งนี้เราสามารถรองรับตัวแปร x ในอินทิกรัลโดยใช้ # DX = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # ที่นี่เราใช้สิ่งนั้น # 1 cos ^ 2u = sin ^ 2u # และสำหรับ # 0 <u = <= pi # #sinu> = 0 #.
ตอนนี้เราใช้การรวมเป็นส่วน ๆ เพื่อค้นหา # intcos ^ 2udu = = intcosudsinu sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ = 2u sinucosu + intdu-intcos ^ = 2udu sinucosu + U + C-intcos ^ 2udu #. ดังนั้น # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + U + C) #.
ดังนั้นเราจึงได้พบ #intx ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #ตอนนี้เราแทน # x # กลับสำหรับ #ยู#ใช้งาน # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #ดังนั้น #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + C #.
เราสามารถทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้นโดยใช้คำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ในรูปของสามเหลี่ยม สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม #ยู# ที่มุมที่ไม่ถูกต้อง # sinu = "ฝั่งตรงข้าม" / "ด้านที่ยาวที่สุด" #ในขณะที่ # cosu = "ด้านที่อยู่ติดกัน" / "ด้านที่ยาวที่สุด" #เนื่องจากเรารู้ # cosu = (3x) / 2 #เราสามารถเลือกด้านประชิดเป็น # 3x # และด้านที่ยาวที่สุดที่จะเป็น #2#. ด้วยการใช้ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสเราพบว่าฝั่งตรงข้ามเป็น #sqrt (4-9x ^ 2) #ดังนั้น #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = Sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. ดังนั้น #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
